13、独立同分布约简：并行交互

独立同分布约简：并行交互

在信息处理任务中，多轮并行盒子的行为复杂，分析难度较大。不过，当任务存在特定对称性时，盒子会呈现出一些额外的结构。本文聚焦于具有置换不变性的并行盒子分析，这在众多信息处理任务中具有重要意义。

1. 置换不变性

我们关注的是置换不变的并行多轮盒子。设 $n$ 为可使用并行盒子 $P_{AB|XY}$ 进行游戏的次数，置换 $\pi$ 是一个双射函数 $\pi: [n] \to [n]$。对于输入 $x$，$\pi(x) = x_{\pi^{-1}(1)}, x_{\pi^{-1}(2)}, \cdots, x_{\pi^{-1}(n)}$，对 $y$、$a$ 和 $b$ 同理。

置换不变盒子的定义如下：
- 定义 1 ：给定并行多轮盒子 $P_{AB|XY}$，定义在 $X^n$、$Y^n$、$A^n$、$B^n$ 上，对于置换 $\pi: [n] \to [n]$，记 $P_{AB|XY} \circ \pi$ 为满足 $\forall a, b, x, y$，$(P_{AB|XY} \circ \pi)(a, b|x, y) = P_{AB|XY}(\pi(a), \pi(b)|\pi(x), \pi(y))$ 的盒子。若 $\forall \pi$，$P_{AB|XY} = P_{AB|XY} \circ \pi$，则称并行多轮盒子 $P_{AB|XY}$ 是置换不变的。

置换后的盒子操作流程如下：
1. 对输入应用置换 $\pi$。
2. 使用初始盒子 $P_{AB|XY}$ 生成中间输出。
3. 对中间输出应用逆置换 $\pi^{-1}$ 并返回最终