14、独立同分布约简的使用方法及相关结果分析

独立同分布约简的使用方法及相关结果分析

1. 引理与定理基础

在进行后续的应用分析之前，先介绍几个重要的引理：
- 引理 8.8 ：对于给定的盒子 (Q_{AB|XY})，存在一个划分元素 ({q_c, Q^c_{AB|XY}}) 的充要条件是 (\forall a, b, x, y)，(q_c \cdot Q^c_{AB|XY}(a, b|x, y) \leq Q_{AB|XY}(a, b|x, y))。
- 引理 8.9 ：对于给定的盒子 (Q_{AB|XY})，设 (Z) 是 (Q_{AB|XY}) 的所有划分 ({ {q_{cz}, Q^{cz} {AB|XY}}} {cz}) 的集合。那么，存在 (Q_{AB|XY}) 的一个非信号扩展 (Q_{ABC|XYZ})、一个输入 (z) 和一个输出 (c_z)，使得 (\forall a, b, x, y)，(Q_{ABC|XYZ}(a, b, c_z|x, y, z) = q_{cz} \cdot Q^{cz}_{AB|XY}(a, b|x, y))。

基于上述引理和定理 8.3，可以证明引理 8.6。引理 8.6 表明，对于任何置换不变的盒子 (P_{AB|XY})，({\frac{1}{(n + 1)l(m - 1)}, P_{AB|XY}}) 是 (\tau_{AB|XY}) 划分的一个元素。并且，存在一个盒子 (\tau_{ABC|XYZ}) 和一个输入 (z)，使得以概率 (\frac{1}{(n + 1)l(m - 1)}) 得到的盒子为 (P_{AB|XY})，即 (\forall a, b,