矩阵的舞蹈

这篇博客探讨了矩阵的美妙性质,特别是矩阵旋转的概念。文章介绍了一个编程问题,要求将矩阵顺时针旋转90度,并提供了输入输出格式及示例。通过示例代码展示了如何实现这一转换,适用于初学者理解和练习矩阵操作。
Problem Description

矩阵是非常美妙的东西,可以用来解方程,以及解决一些图论的问题等,应用很广泛。即使没有学过线性代数,大家也一定接触过矩阵,在编程中可以理解为二维的表。

矩阵有很多操作就像舞蹈一样,如行列的置换,矩阵的转置等。今天我们只看矩阵的旋转,希望得到当前矩阵顺时针旋转90度以后得到的矩阵。

Input

输入数据的第一行是一个正整数T,代表有T组测试样例。接下来T组数据,每组数据第一行是两个整数M,N (0  <  M , N  <  100),分别代表矩阵的行数和列数。然后是矩阵本身,共M行,每行N个数据用空格隔开。

Output

 对于每组输入的矩阵,第一行输出Case #k:(k为该组数据的序号,具体格式见样例),然后输出其旋转后的矩阵。

Example Input
24 41 2 3 45 6 7 86 6 6 68 8 8 82 22 22 2
Example Output

Case #1:

8 6 5 1

8 6 6 2

8 6 7 3

8 6 8 4

Case #2:

2 2

2 2



#include<stdio.h>
int main()
{
int T,m,n,i,j,k,a[101][101];
scanf("%d",&T);
for(i=0;i<T;i++)
{
scanf("%d%d",&m,&n);
for(j=0;j<m;j++)
{
for(k=0;k<n;k++)
scanf("%d",&a[j][k]);
}
   printf("Case #%d:\n",i+1);
    for(k=0;k<n;k++)
{
   for(j=m-1;j>=0;j--)
{
if(j==0) printf("%d\n",a[j][k]);
    else printf("%d ",a[j][k]);
}
}
}
return 0;
}

### 舞蹈链(Dancing Links)算法的实现原理 舞蹈链(Dancing Links)算法是一种用于解决**精确覆盖问题**和**重复覆盖问题**的高效回溯算法。它由计算机科学家 Donald E. Knuth 提出,核心思想是利用**十字循环双向链表**的数据结构来动态维护和操作矩阵中的元素,从而实现高效的搜索和回溯。 #### 数据结构基础 舞蹈链算法的核心数据结构是一个**稀疏矩阵**,其中每个非零元素都通过**十字循环双向链表**连接。每个节点包含以下指针: - 上、下(`up` 和 `down`)指针,用于在列中形成垂直链表。 - 左、右(`left` 和 `right`)指针,用于在行中形成水平链表。 - 每一列都有一个**列首节点**(Column Header),它记录该列的名称以及当前列中剩余的节点数量。 通过这种结构,可以高效地从矩阵中移除一列及其相关的行,并在回溯时快速恢复[^1]。 #### 精确覆盖问题的求解 精确覆盖问题的目标是从一个二进制矩阵中选择一组行,使得每一列恰好包含一个 `1`。舞蹈链算法通过以下步骤来求解这一问题: 1. **选择当前列**:通常选择**节点最少的列**以减少搜索分支。 2. **覆盖当前列**:将该列从矩阵中移除,并移除所有与该列相交的行。 3. **递归搜索**:对剩余矩阵递归调用算法,尝试找到一组行满足条件。 4. **回溯**:如果递归失败,则恢复之前的操作,尝试选择下一行。 #### 覆盖与回溯的实现 - **覆盖操作**:当选择一行时,该行所覆盖的所有列都会被移除。具体来说,这些列会被从链表中“断开”,同时与这些列相交的行也会被移除。 - **回溯操作**:当递归失败时,之前被移除的列和行需要恢复原状,以便尝试其他可能的行组合。 这一过程通过**双向链表的指针调整**实现,使得覆盖和回溯都非常高效。例如,覆盖某一列时,只需将其左右列的指针跳过该列即可;回溯时只需恢复这些指针[^2]。 #### 代码示例 以下是一个简化版的舞蹈链算法实现框架(基于递归): ```python class Node: def __init__(self, row=-1, col=-1): self.row = row self.col = col self.left = self self.right = self self.up = self self.down = self self.header = self # 仅列首节点使用 def cover(col): # 从链表中移除列 col.right.left = col.left col.left.right = col.right # 遍历该列的所有行,移除相交的其他列 i = col.down while i != col: j = i.right while j != i: j.down.up = j.up j.up.down = j.down j = j.right i = i.down def uncover(col): # 恢复列 i = col.up while i != col: j = i.left while j != i: j.down.up = j j.up.down = j j = j.left i = i.up col.right.left = col col.left.right = col def dance(k, solution): if root.right == root: # 找到解 return True # 选择下一列 col = select_column() cover(col) i = col.down while i != col: solution.append(i.row) # 遍历当前行,覆盖所有相关列 j = i.right while j != i: cover(j.header) j = j.right if dance(k + 1, solution): return True # 回溯 solution.pop() j = i.left while j != i: uncover(j.header) j = j.left i = i.down uncover(col) return False ``` #### 总结 舞蹈链算法通过**十字循环双向链表**实现了高效的覆盖和回溯操作,使得精确覆盖问题的求解更加高效。其核心在于动态维护矩阵结构,并通过递归搜索找到满足条件的解。该算法在数独求解、拼图游戏等领域有广泛应用。
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