快速引导滤波原理详解（fast guided filter）

符号标记

$$\begin{gathered} q:输出图像 \\ p:输入图像 \\ I:引导图 \\ {a}_k,b_k:线性变换模型 \\ r:滤波半径 \\ s:下采样因子 \end{gathered}$$

输入图单通道，引导图单通道

1. 文章假设滤波结果是对guidance image线性变换的结果：
   $$q_i=a_k{I}_i+b_k,\forall i\in {\omega }_k$$
   这就是最终的滤波公式，但是目前$a_k,b_k$是未知的，需要求解；另外目前为止$a_k,b_k$在${\omega }_k$之内被假设为常量。
   相对于普通的滤波，如高斯滤波，这个公式最大的不同是多了bias项$b_k$。

2. 为了求解$a_k,b_k$，需要建立一个目标函数，目标函数的建立规则是：

   • 在${\omega }_k$区域内，滤波结果$q_i$与输入图像$p_i$要尽可能相近，两者之差的二范数要最小（最小二乘）。
   • 对尺度因子$a_k$加了正则化进行惩罚，避免$a_k$太飘，同样是二范数。

   于是就需要最小化以下目标函数：
   $$E(a_k,b_k)=\sum _{i\in {\omega }_k}((a_k{I}_i+b_k-p_i{)}^2+ϵa_k^2)$$
   注意上式中$q_i$已经用$a_k{I}_i+b_k$代替。

3. 通过目标函数求解$a_k,b_k$
   使用目标函数$E(a_k,b_k)$分别对$a_k,b_k$求偏导并置零，来获得等式：
   $$\begin{gathered} \frac{\partial E}{\partial a_k}=\sum _i(2(a_k{I}_i+b_k-p_i)I_i+2ϵa_k)=0 \\ \frac{\partial E}{\partial b_k}=\sum _{i}2(a_k{I}_i+b_k-p_i)=0 \end{gathered}$$
   上式中为了看起来清爽一点，把求和符号中的$i\in {\omega }_k$简写为$i$。
   注意求和符号只针对$i$，所以但凡脚标不是$i$的量都可以移动到求和符号之外，顺便把系数2给干掉，然后上述两式变为：
   $$\begin{gathered} a_k\sum _i{I}_i{I}_i+b_k\sum _i{I}_i-\sum _i{p}_i{I}_i+|\omega |ϵa_k=0 \\ {a}_k\sum _i{I}_i+|\omega |b_k-\sum _i{p}_i=0 \end{gathered}$$
   首先可以通过第二个式子求得：
   $$b_k=\frac{1}{|\omega |}\sum _i{p}_i-a_k\frac{1}{|\omega |}\sum _i{I}_i\text{\hspace{1em}(1)}$$
   上式中$|\omega |$表示${\omega }_k$区域中像素个数，所以$\frac{1}{|\omega |}{\sum }_i$的意思其实就是求平均。
   把$b_k$代入第一个式子，再经过一系列化简，可以得到$a_k$的表达式：
   $$\begin{gathered} a_k\sum _i{I}_i{I}_i+(\frac{1}{|\omega |}\sum _i{p}_i-a_k\frac{1}{|\omega |}\sum _i{I}_i)\sum _i{I}_i-\sum _i{p}_i{I}_i+|\omega |ϵa_k=0 \\ {a}_k(\sum _i{I}_i{I}_i-\frac{1}{|\omega |}\sum _i{I}_i\sum _i{I}_i+|\omega |ϵ)+\frac{1}{|\omega |}\sum _i{p}_i\sum _i{I}_i-\sum _i{p}_i{I}_i=0 \\ 为了显示得干净点，求和符号中的i也干掉了: \\ {a}_k=\frac{\sum p_i{I}_i-\frac{1}{|\omega |}\sum p_i\sum I_i}{\sum I_i{I}_i-\frac{1}{|\omega |}\sum I_i\sum I_i+|\omega |ϵ} \\ 上下同除以|\omega |得: \\ {a}_k=\frac{\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_i-\frac{1}{|\omega |}\sum p_i\frac{1}{|\omega |}\sum I_i}{\frac{1}{|\omega |}\sum I_i{I}_i-\frac{1}{|\omega |}\sum I_i\frac{1}{|\omega |}\sum I_i+ϵ}\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
   这就是最符合原文章算法流程的公式写法，不用再按照原文章的公式写法简化了。
   最后需注意，虽然前面假设$a_k,b_k$在${\omega }_k$区域内是常量，但实际上根据上述（1）（2）两公式计算出来后并不是常量，所以要考虑${\omega }_k$区域中$a_k,b_k$变化带来的影响，一般采用平均的方式去处理，也就是:
   $$q_i=\frac{1}{|\omega |}\sum _{k\in {\omega }_i}{a}_k{I}_i+\frac{1}{|\omega |}\sum _{k\in {\omega }_i}{b}_k\text{\hspace{1em}(3)}$$
   上述(1, 2, 3)三个公式就是正常guidefilter的完整求解过程。

4. 文章中$a_k,b_k$的公式解释
   记${\mu }_k=\frac{1}{|\omega |}\sum I_i$，$p_k=\frac{1}{|\omega |}\sum p_i$。
   那么$a_k,b_k$分别可写为：
   $$\begin{gathered} a_k=\frac{\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_i-p_k{\mu }_k}{\frac{1}{|\omega |}\sum I_i^2-{\mu }_k^2+ϵ} \\ {b}_k=p_k-a_k{\mu }_k \end{gathered}$$
   然后再来看个方差公式：
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_k^2& =\frac{1}{|\omega |}\sum _i(I_i-{\mu }_k{)}^2\\ & =\frac{1}{|\omega |}\sum _i(I_i^2-2I_i{\mu }_k+{\mu }_k^2)\\ & =\frac{1}{|\omega |}(\sum _i{I}_i^2-2{\mu }_k\sum _i{I}_i+\sum _i{\mu }_k^2)\\ & (请注意:\sum I_i=|\omega |{\mu }_k,\sum _i{\mu }_k^2=|\omega |{\mu }_k^2)\\ & =\frac{1}{|\omega |}(\sum _i{I}_i^2-2{\mu }_k|\omega |{\mu }_k+|\omega |{\mu }_k^2)\\ & =\frac{1}{|\omega |}(\sum _i{I}_i^2-|\omega |{\mu }_k^2)\\ & =\frac{1}{|\omega |}\sum _i{I}_i^2-{\mu }_k^2\end{array}$$
   同理可以把协方差公式也写在这里，下面推导多通道公式时候会用到
   $$\begin{array}{rl}{\sigma }_k^2& =\frac{1}{|\omega |}\sum _i(I_{i0}-{\mu }_{k0})(I_{i1}-{\mu }_{k1})\\ & =\frac{1}{|\omega |}\sum _i(I_{i0}{I}_{i1}-I_{i0}{\mu }_{k1}-I_{i1}{\mu }_{k0}+{\mu }_{k0}{\mu }_{k1})\\ & =\frac{1}{|\omega |}(\sum _i{I}_{i0}{I}_{i1}-{\mu }_{k1}\sum _i{I}_{i0}-{\mu }_{k0}\sum _i{I}_{i1}+\sum _i{\mu }_{k0}{\mu }_{k1})\\ & =\frac{1}{|\omega |}(\sum _i{I}_{i0}{I}_{i1}-|\omega |{\mu }_{k1}{\mu }_{k0}-|\omega |{\mu }_{k0}{\mu }_{k1}+|\omega |{\mu }_{k0}{\mu }_{k1})\\ & =\frac{1}{|\omega |}\sum _i{I}_{i0}{I}_{i1}-{\mu }_{k1}{\mu }_{k0}\end{array}$$
   所以$a_k$就可以进一步写为论文中的：
   $$a_k=\frac{\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_i-p_k{\mu }_k}{{\sigma }_k^2+ϵ}$$

输入图多通道，引导图单通道

使用引导图对输入图的每个通道分别滤波即可。

输入图单通道，引导图多通道

引导图是多通道的情况下，多个通道需要综合对输入图的单通道产生影响，按照文章公式可以记录为：
$$q_i=a_k^T{I}_i+b_k,\forall i\in {\omega }_k$$
拆开写为：
$$q_i=a_{k0}{I}_{i0}+a_{k1}{I}_{i1}+a_{k1}{I}_{i1}+b_k,\forall i\in {\omega }_k$$
那么目标函数就变成：
$$E(a_k,b_k)=\sum _{i\in {\omega }_k}((a_{k0}{I}_{i0}+a_{k1}{I}_{i1}+a_{k1}{I}_{i1}+b_k-p_i{)}^2+ϵ(a_{k0}^2+a_{k1}^2+a_{k2}^2))$$
（下面推导为了看着清爽，会把求和符号中的$i$省略掉，需要时刻记住，求和符号的对象是$i$）
现在要求$a_{k0},a_{k1},a_{k2},b_k$，使用$E(a_k,b_k)$分别对这几项求偏导并置零得：
$$\begin{gathered} \frac{\partial E}{\partial a_{k0}}=\sum (2(a_{k0}{I}_{i0}+a_{k1}{I}_{i1}+a_{k2}{I}_{i2}+b_k-p_i)I_{i0}+2ϵa_{k0})=0 \\ \frac{\partial E}{\partial a_{k1}}=\sum (2(a_{k0}{I}_{i0}+a_{k1}{I}_{i1}+a_{k2}{I}_{i2}+b_k-p_i)I_{i1}+2ϵa_{k1})=0 \\ \frac{\partial E}{\partial a_{k2}}=\sum (2(a_{k0}{I}_{i0}+a_{k1}{I}_{i1}+a_{k2}{I}_{i2}+b_k-p_i)I_{i2}+2ϵa_{k2})=0 \\ \frac{\partial E}{\partial b_k}=\sum 2(a_{k0}{I}_{i0}+a_{k1}{I}_{i1}+a_{k1}{I}_{i1}+b_k-p_i)=0 \end{gathered}$$
类似全部单通道的推导过程，首先可以得到$b_k$的表达式：
$$\begin{gathered} b_k=\frac{1}{|\omega |}\sum p_i-a_{k0}\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}-a_{k1}\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i1}-a_{k2}\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i2} \\ {b}_k=p_k-a_{k0}{\mu }_{k0}-a_{k1}{\mu }_{k1}-a_{k2}{\mu }_{k2} \end{gathered}$$
其中$p_k=\frac{1}{|\omega |}\sum p_i$，${\mu }_{k0}=\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}$，${\mu }_{k1}=\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i1}$，${\mu }_{k2}=\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i2}$
把$b_k$的表达式带入到第一个偏导式子中，顺便做个整理：
$$\begin{gathered} \sum (a_{k0}{I}_{i0}^2+a_{k1}{I}_{i0}{I}_{i1}+a_{k2}{I}_{i0}{I}_{i2}+p_k{I}_{i0}-a_{k0}{\mu }_{k0}{I}_{i0}-a_{k1}{\mu }_{k1}{I}_{i0}-a_{k2}{\mu }_{k2}{I}_{i0}-p_i{I}_{i0}+ϵa_{k0})=0 \\ {a}_{k0}\sum I_{i0}^2+a_{k1}\sum I_{i0}{I}_{i1}+a_{k2}\sum I_{i0}{I}_{i2}+p_k\sum I_{i0}-a_{k0}{\mu }_{k0}\sum I_{i0}-a_{k1}{\mu }_{k1}\sum I_{i0}-a_{k2}{\mu }_{k2}\sum I_{i0}-\sum p_i{I}_{i0}+\sum ϵa_{k0})=0 \\ {a}_{k0}\sum I_{i0}^2+a_{k1}\sum I_{i0}{I}_{i1}+a_{k2}\sum I_{i0}{I}_{i2}+|\omega |p_k{\mu }_{k0}-|\omega |a_{k0}{\mu }_{k0}^2-|\omega |a_{k1}{\mu }_{k1}{\mu }_{k0}-|\omega |a_{k2}{\mu }_{k2}{\mu }_{k0}-\sum p_i{I}_{i0}+|\omega |ϵa_{k0})=0 \\ {a}_{k0}\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}^2+a_{k1}\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i1}+a_{k2}\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i2}+p_k{\mu }_{k0}-a_{k0}{\mu }_{k0}^2-a_{k1}{\mu }_{k1}{\mu }_{k0}-a_{k2}{\mu }_{k2}{\mu }_{k0}-\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i0}+ϵa_{k0})=0 \\ {a}_{k0}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}^2-{\mu }_{k0}^2+ϵ)+a_{k1}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i1}-{\mu }_{k0}{\mu }_{k1})+a_{k2}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i2}-{\mu }_{k0}{\mu }_{k2})+p_k{\mu }_{k0}-\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i0}=0 \\ {a}_{k0}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}^2-{\mu }_{k0}^2+ϵ)+a_{k1}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i1}-{\mu }_{k0}{\mu }_{k1})+a_{k2}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i2}-{\mu }_{k0}{\mu }_{k2})=\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i0}-p_k{\mu }_{k0} \end{gathered}$$
仿照上述流程，处理一下第二和第三个偏导式，再把第一个也罗列下来，可得：
$$\begin{gathered} a_{k0}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}^2-{\mu }_{k0}^2+ϵ)+a_{k1}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i1}-{\mu }_{k0}{\mu }_{k1})+a_{k2}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i2}-{\mu }_{k0}{\mu }_{k2})=\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i0}-p_k{\mu }_{k0} \\ {a}_{k0}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i1}-{\mu }_{k0}{\mu }_{k1})+a_{k1}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i1}^2-{\mu }_{k0}^2+ϵ)+a_{k2}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i1}{I}_{i2}-{\mu }_{k1}{\mu }_{k2})=\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i1}-p_k{\mu }_{k1} \\ {a}_{k0}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i0}{I}_{i2}-{\mu }_{k0}{\mu }_{k2})+a_{k1}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i1}{I}_{i2}-{\mu }_{k1}{\mu }_{k2})+a_{k2}(\frac{1}{|\omega |}\sum I_{i2}^2-{\mu }_{k2}^2+ϵ)=\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i2}-p_k{\mu }_{k2} \end{gathered}$$
上面$a_k$相关的系数都是方差或者协方差，记：
$${\sigma }_k^{mn}={\sigma }_k^{nm}=\frac{1}{|\omega |}\sum I_{im}{I}_{in}-{\mu }_{km}{\mu }_{kn}$$
（上式的相关推导可以在上面翻翻看）
那么上面线性方程组可以进一步写为：
$$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_k^{00}+ϵ& {\sigma }_k^{01}& {\sigma }_k^{02}\\ {\sigma }_k^{10}& {\sigma }_k^{11}+ϵ& {\sigma }_k^{12}\\ {\sigma }_k^{20}& {\sigma }_k^{21}& {\sigma }_k^{22}+ϵ\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{k0}\\ a_{k1}\\ a_{k2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i0}-p_k{\mu }_{k0}\\ \frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i1}-p_k{\mu }_{k1}\\ \frac{1}{|\omega |}\sum p_i{I}_{i2}-p_k{\mu }_{k2}\end{array}\right]$$
求解方法：
$$\left[\begin{array}{c}{a}_{k0}\\ a_{k1}\\ a_{k2}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_k^{00}+ϵ& {\sigma }_k^{01}& {\sigma }_k^{02}\\ {\sigma }_k^{10}& {\sigma }_k^{11}+ϵ& {\sigma }_k^{12}\\ {\sigma }_k^{20}& {\sigma }_k^{21}& {\sigma }_k^{22}+ϵ\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{Ip0}\\ {\sigma }_{Ip1}\\ {\sigma }_{Ip2}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
公式（4）中的${\sigma }_{Ip0},{\sigma }_{Ip1},{\sigma }_{Ip2}$请自行与前面公式对应起来看。
由于3x3矩阵的求逆公式比较容易手写，所以可以进一步简化，采用伴随矩阵的求逆方式。
$$A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}$$
上式中$adj(A)$是A的伴随矩阵，$det(A)$是A的行列式。
3x3矩阵的行列式为：
$$det\left(\begin{array}{ccc}{a}_{00}& a_{01}& a_{02}\\ a_{10}& a_{11}& a_{12}\\ a_{20}& a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{00}& a_{01}& a_{02}\\ a_{10}& a_{11}& a_{12}\\ a_{20}& a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{00}{a}_{11}{a}_{22}+a_{10}{a}_{21}{a}_{02}+a_{20}{a}_{01}{a}_{12}-a_{00}{a}_{12}{a}_{21}-a_{01}{a}_{10}{a}_{22}-a_{02}{a}_{11}{a}_{20}$$
3x3矩阵的伴随矩阵等于代数余子矩阵的转置：
$$adj\left(\begin{array}{ccc}{a}_{00}& a_{01}& a_{02}\\ a_{10}& a_{11}& a_{12}\\ a_{20}& a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{01}& a_{02}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{01}& a_{02}\\ a_{11}& a_{12}\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{10}& a_{12}\\ a_{20}& a_{22}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{02}\\ a_{20}& a_{22}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{02}\\ a_{10}& a_{12}\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{10}& a_{11}\\ a_{20}& a_{21}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{01}\\ a_{20}& a_{21}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{01}\\ a_{10}& a_{11}\end{array}\right|\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}& a_{02}{a}_{21}-a_{01}{a}_{22}& a_{01}{a}_{12}-a_{02}{a}_{11}\\ a_{12}{a}_{20}-a_{10}{a}_{22}& a_{00}{a}_{22}-a_{02}{a}_{20}& a_{02}{a}_{10}-a_{00}{a}_{12}\\ a_{10}{a}_{21}-a_{11}{a}_{20}& a_{01}{a}_{20}-a_{00}{a}_{21}& a_{00}{a}_{11}-a_{10}{a}_{01}\end{array}\right]$$
现在把公式（4）中矩阵求逆的部分展开写一下，注意：

• 上标数字改为用下标，原来的下标k省略不写。
• 3x3矩阵是个对称矩阵，所以只用求6个值即可。
• 为了看着清爽，暂时省略掉$ϵ$
  伴随矩阵的值：
  $$\begin{array}{r}ad{j}_{00}={\sigma }_{11}{\sigma }_{22}-{\sigma }_{12}{\sigma }_{12}\\ ad{j}_{11}={\sigma }_{00}{\sigma }_{22}-{\sigma }_{02}{\sigma }_{02}\\ ad{j}_{22}={\sigma }_{00}{\sigma }_{11}-{\sigma }_{01}{\sigma }_{01}\\ ad{j}_{01}={\sigma }_{02}{\sigma }_{12}-{\sigma }_{01}{\sigma }_{22}\\ ad{j}_{02}={\sigma }_{01}{\sigma }_{12}-{\sigma }_{02}{\sigma }_{11}\\ ad{j}_{12}={\sigma }_{02}{\sigma }_{01}-{\sigma }_{00}{\sigma }_{12}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
  行列式的值为：
  $$\begin{array}{rl}det& ={\sigma }_{00}{\sigma }_{11}{\sigma }_{22}+{\sigma }_{01}{\sigma }_{12}{\sigma }_{02}+{\sigma }_{02}{\sigma }_{01}{\sigma }_{12}-{\sigma }_{00}{\sigma }_{12}{\sigma }_{12}-{\sigma }_{01}{\sigma }_{01}{\sigma }_{22}-{\sigma }_{02}{\sigma }_{02}{\sigma }_{11}\\ & ={\sigma }_{00}({\sigma }_{11}{\sigma }_{22}-{\sigma }_{12}{\sigma }_{12})+{\sigma }_{01}({\sigma }_{12}{\sigma }_{02}-{\sigma }_{01}{\sigma }_{22})+{\sigma }_{02}({\sigma }_{01}{\sigma }_{12}-{\sigma }_{02}{\sigma }_{11})\\ & ={\sigma }_{00}\ast ad{j}_{00}+{\sigma }_{01}\ast ad{j}_{01}+{\sigma }_{02}\ast ad{j}_{02}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
  逆矩阵的值：
  $$\begin{array}{r}in{v}_{00}=ad{j}_{00}/det\\ in{v}_{11}=ad{j}_{11}/det\\ in{v}_{22}=ad{j}_{22}/det\\ in{v}_{01}=ad{j}_{01}/det\\ in{v}_{02}=ad{j}_{02}/det\\ in{v}_{12}=ad{j}_{12}/det\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
  注意在写程序的时候$ad{j}_{xx}$这个变量就不用再创建了，直接使用$in{v}_{xx}$即可。
  然后需要再把$a_{k0},a_{k1},a_{k2},b_k$的计算公式根据已经计算出来的值再写一下。
  $$\begin{array}{rl}{a}_{k0}& =in{v}_{00}\ast {\sigma }_{Ip0}+in{v}_{01}\ast {\sigma }_{Ip1}+in{v}_{02}\ast {\sigma }_{Ip2}\\ a_{k1}& =in{v}_{01}\ast {\sigma }_{Ip0}+in{v}_{11}\ast {\sigma }_{Ip1}+in{v}_{12}\ast {\sigma }_{Ip2}\\ a_{k2}& =in{v}_{02}\ast {\sigma }_{Ip0}+in{v}_{12}\ast {\sigma }_{Ip1}+in{v}_{22}\ast {\sigma }_{Ip2}\\ b_k& =p_k-a_{k0}{\mu }_{k0}-a_{k1}{\mu }_{k1}-a_{k2}{\mu }_{k2}\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
  最后需要对$a_{k0},a_{k1},a_{k2},b_k$再做个平均，真正的滤波结果为：
  $$q_i=\frac{1}{|\omega |}\sum _{k\in {\omega }_i}{a}_{k0}{I}_{i0}+\frac{1}{|\omega |}\sum _{k\in {\omega }_i}{a}_{k1}{I}_{i1}+\frac{1}{|\omega |}\sum _{k\in {\omega }_i}{a}_{k1}{I}_{i1}+\frac{1}{|\omega |}\sum _{k\in {\omega }_i}{b}_k\text{\hspace{1em}(9)}$$
  公式（5）-（9）就是完整的计算流程。中间有一些替换性的式子，需要在字里行间自行寻找。

输入图多通道，引导图多通道

仍然是使用引导图对输入图的每个通道分别滤波即可。

算法流程

文章中的算法流程如下，其中点乘.* 表示element-wise乘法，fmean表示boxfilter。
最后说明一下fast的意思：何恺明同学在提出guidedfilter后不久，又发现在计算线性模型参数$a_k,b_k$时候，使用下采样后的图像可以，不会带来明显的画质损失。下采样后可以大量减少boxfilter的计算消耗，所以就快了很多。

代码和示例

博客字数超了，另起一篇，参考：
https://blog.youkuaiyun.com/bby1987/article/details/128225408