数字图像处理 张量分解的概念、发展及其应用

本文深入探讨了张量的概念及其在数字图像处理中的应用,特别是张量分解,包括CP分解、Tucker分解、t-SVD等。这些技术在背景建模、图像恢复等场景中发挥关键作用,揭示了多维数据的内在结构信息。

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一、张量的概念

        张量是一个多维数组。更正式地说,N向或N阶张量是N个向量空间的张量乘积的一个元素,每个向量空间都有自己的坐标系。张量的概念不能与物理和工程中的张量(如应力张量)混淆,后者在数学中通常被称为张量场。三阶张量如下图所示。一阶张量是向量,二阶张量是矩阵,三阶或更高阶的张量称为高阶张量。

        张量(多维数组)作为向量和矩阵的高阶泛化,可以充分揭示多关系或多模态数据背后的内在结构信息。例如,受多种条件影响的面部图像集合可以表示为四阶张量,其维数为像素×人×姿势×照明。这种基于张量的表示从更高阶的角度更好地理解了信息背后的关系。

        张量在许多应用中发挥着重要作用,如信号处理、机器学习、生物医学工程、神经科学、计算机视觉、通信、心理测量学和化学计量学。它们可以为制定和解决这些领域的问题提供一个简明的数学框架。

        以下是一些涉及张量框架的案例:

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