学以致用 知行合一

数值方法，简单来说，就是用来解决直接求解的数学问题。通过有限差分方法对微分方程 (DE) 进行数值求解。通过求解微分方程，我们可以对动力系统进行模拟并对世界进行预测。一种称为物理信息神经网络（PINN）的新型神经网络，这是传统科学计算和现代机器学习融合的新兴领域。它还有其他几个名称，例如科学机器学习或基于物理的深度学习。它基本上包括使用神经网络求解微分方程。思路大概是由于神经网络是通用函数逼近器，因此它们可以用于求解任何函数。因此，通过对损失函数进行小的调整，它们也可以用于求解描述自然定律的微分方程。

令许多纯数学家烦恼的是，并非所有问题都能通过解析方法解决，也就是说，不能通过使用已知规则和逻辑来获得精确解的方法。这时就需要使用数值方法。数值方法将近似解，或者在最坏的情况下，将解限制在某个范围内。数值方法，简单来说，就是用来解决直接求解的数学问题。打个比方，你想要算一个非常复杂的方程的解，但是这个方程没有现成的公式可以套用。这时候，数值方法就派上用场了。将连续的问题转化为离散的点或网格。例如，将一个曲线用一系列离散的点来近似表示。用已知的简单公式或算法来近似地表示原问题。

是自然且统一的选择，方便记忆和理解。具体意义依赖于上下文，可以根据使用环境（实数、复数、向量等）来区分是指绝对值还是模。绝对值和模都可以使用两个竖线表示，是因为它们在数学概念上有相似的性质，不过是应用场景不同。两个概念都涉及到“大小”或“距离”的测量，因此使用相同的符号。比如2024年的高考数学第一题，已知。

所以毕达哥拉斯和他的古希腊后人将这个定理解释为面积相等：“用直角三角形中最长边构造的正方形面积，是由另外两边构造的正方形面积的和。阿基米德是一位思想巨人，毕达哥拉斯或许算不上，但人们往往低估了他的贡献，他值得更多赞誉——不在于他做出了什么，而在于他推动了什么。在托马斯·希思爵士的著名译本中，这个命题是这样写的：“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角的边上的两个正方形。欧几里得把几何学变成了逻辑：他明确地列出了自己的基本假设，并援引这些假设，为他的所有定理提供系统的证明。中和右：定理的另一证明。

四元数在代数中，二维复数到三维的推广。四元数及其运算规则是由爱尔兰数学家发明的威廉·罗文·汉密尔顿爵士于 1843 年发明。他将它们设计为描述力学中三维问题的一种方式。经过长期努力设计保留代数正常性质的数学运算，汉密尔顿突然想到了添加第四维的想法。

矩阵的秩是线性代数领域中一个非常重要的概念，因为它帮助我们知道是否可以找到方程组的解。矩阵的秩还可以帮助我们了解其向量空间的维数。矩阵的秩是最高阶非零次数的阶数。矩阵的秩等于其中线性独立的行（或列）的数量。因此，它不能超过其行数和列数。

群论得到了广泛的应用。它被用来确定晶体的可能结构，对分子振动理论具有深远的影响。物理守恒定律，例如能量守恒定律和电荷守恒定律，都源于物理方程的对称性。每次通过互联网发送安全信息时，都会使用最简单的群之一，称为“模N乘法群”。

这里主要介绍了TensorFlow的自动微分（autodiff）功能如何工作，以及与其他解决方案的比较。假设您定义了一个函数，并且需要计算它的偏导数和，通常用于执行梯度下降（或某些其他优化算法）。可用的主要选择是手动微分、有限差分近似、正向模式自动微分和反向模式自动微分。TensorFlow实现了反向模式autodiff，但要理解它，建议全面了解一下主要的方法。让我们从手动微分开始。

Tolkowsky的博士论文专注于钻石的研磨和抛光，这意味着他能够利用自己的数学和科学知识，并将其应用于寻找钻石最佳切割方法的问题。然后，他希望光线以小于临界角的角度照射到钻石的顶面，从而折射出钻石的顶部，到达观看钻石的人的眼睛。即使是迄今为止发现的最大的钻石原石（被称为库里南钻石），在被切割成单颗钻石（其中一些被用于制作皇冠上的宝石）之前，它看起来也不起眼。他利用几何学得出了所谓的理想钻石切割。经验丰富的钻石切割工预计只需使用三分之一的原石就可以生产出成品钻石，考虑到钻石的昂贵程度，这是一种巨大的浪费。

这里我们将探讨为什么素数在密码学中很重要。我们将根据特定的密码系统（ RSA 算法）来进行深入了解。每个数字都可以分解为它的素数。一般来说，找到一个数的因数是非常困难的。要找到一个自然数的所有素因数，必须尝试将其除以它的可能因数。找到一个大数的质因数是非常困难的。但计算具有给定素数的数字非常容易：理想情况下，我们使用两个大的素数。然后我们计算这两者的乘积来加密消息。为了解密它，我们需要素数之一，因为没有简单的方法可以单独计算素数 1 和素数 2。

在物理和工程应用中，我们经常考虑作用在物体上的力，并使用此信息来理解可能发生的最终运动。例如，如果我们从地球表面的一个物体开始，作用在该物体上的主要力是重力。物理学家和工程师可以使用这些信息以及牛顿第二运动定律（以方程形式， 其中代表力，代表质量，并且代表加速度），推导出可解的方程。在上图中，我们假设作用在棒球上的唯一力是重力。这个假设忽略了空气阻力。地球表面重力产生的加速度，G，大约是。我们引入一个参考系，其中地球表面的高度为 0 米。让表示物体的速度，以米每秒为单位。如果。

最速曲线，从字面上理解，就是“速度”最快的曲线，这里的“速度”是指平均速度、瞬时速度，抑或是速率。竖直平面内，不在同一铅垂线上的两个固定点之间的许多条曲线路径中，能使质点以最短的时间从高位置点到低位置点自由落下的那条曲线，称为最速落径，是一条旋轮线。如图所示，A点坐标（x1，y1），B点坐标（x2，y2），质点从A点沿曲线无摩擦下滑到B点，我们以A点同时作为零势能点和坐标原点，质点（x，y）代表其运动轨迹。关于欧拉方程的详细求解，可以参考卢圣治主编的《理论力学基本教程》（第二版）180～187页。

Emmaus的信徒们》是17世纪荷兰大画家JanVermeer的名画。第二次世界大战后，荷兰安全机关开始追捕纳粹党徒。1945年5月29日，法国三流画家H.A.van Meegeren因通敌罪被捕。Meegeren供认卖给德国人的《Emmaus的信徒们》是他制作的赝品，当时荷兰当局认为他的供词是假的，目的是想逃脱通敌的罪名。著名艺术史专家A.Bredius也证明说，那件《Emmaus的信徒们》是Vermeer的原作，该画当时已被Renbradt协会以17万美元买去。

通解与特定解之间的区别在于，通解涉及自变量的一系列显式或隐式定义的函数。一个或多个初始值确定解族中的哪个特定解满足所需条件。解决这个初始值问题的第一步是找到一个通用的解决方案。为此，我们找到微分方程两边的反导数。我们能够对两边进行积分，因为。代入我们前面提到的方程并求解。

在多变量微积分中，初值问题是一个常微分方程以及一个初始条件，该初始条件指定域中给定点处未知函数的值。在物理学或其他科学中对系统进行建模通常相当于解决初始值问题。通常给定的微分方程有无数个解，因此我们很自然地会问我们要使用哪一个。要选择一种解决方案，需要更多信息。一些有用的特定信息是初始值，它是用于查找特定解决方案的有序对。具有一个或多个初始值的微分方程称为。一般规则是初值问题所需的初值数量等于微分方程的阶数。

某宾馆有150间客房，经过一段时间的经营，该宾馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为200元，入住率为55％；定价为180元，入住率为65％；定价为160元，入住率为75％；定价为140元，入住率为85％。经理想要使每天的收入最高，问每间客房的定价应为多少？

等时降落轨迹或等时曲线，都是指一个球在没有受到任何摩擦力，只受到重力影响的情况下，从高处落到低处所形成的曲线。他的发现对于设计等时性的摆钟是至关重要的。最速降线指物体在两个点之间最快降落的路径。也就是说，当一个球以零速度开始滚动，在时刻受到地心引力作用并且假设没有任何外在摩擦力时，最快降落的路径。伽利略1638年就在倾斜的平面上进行了类似的实验，但是他却得出了错误的结论，认为最速降线应该是一段凹形的圆弧。在经过莱布尼茨、牛顿与约翰伯努利等人的辛勤研究之后，伯努利的哥哥雅各布找到了最终的答案。

在数学中，函数sign指的是符号函数，它的定义如下：对于任意实数x，若x>0，则sign(x)=1；若x=0，则sign(x)=0；若x

这个符号通常伴随着一个索引，该索引变化以包含总和中必须考虑的所有术语。例如，݊第一个整数的和可以用以下方式表示：或者，这两种表示意思都是一样的。如果积分符号没有限制，则积分称为不定积分，这意味着没有特定值。然后得到黎曼和定义了曲线下的面积（定积分中还区分左黎曼和、右黎曼和、中点黎曼和、梯形法等等，这里提一下）积分是微积分的一个主要部分。我们可以在几个点计算函数并将宽度Δx的切片相加，如下图所示（但答案不会很准确）。如果熟悉求和符号，不熟悉可以参考下面的链接。，在拉丁语中意为“和”，对切片进行求和的想法。

现实世界中混乱的问题可以用数学来解决，从而产生一系列可能的解决方案来帮助指导决策。大多数人对数学建模的概念感到不舒服，因为它是如此开放。如此多的未知信息似乎令人望而却步。哪些因素最相关？但正是现实世界问题的这种开放性导致了解决问题的技能、创造力、创新和数学的建立和应用。模型描述了我们对世界如何运作的理解。在数学建模中，我们将这些理解转化为数学语言。基于数学对世界进行描述，这有很多优点。另外在数学建模中有很大的折衷因素。现实世界中的大多数交互系统过于复杂，无法对其进行整体建模。

设想你在一家银行有一个银行账户，该银行付给你一个慷慨的利息年利率12%,一年计一次复利．你将一笔初始存款存入账户．每一年你的财富增加12%．这意味着，n年后，你的财富会增加到原来的。为了回答这个问题，让我们来求助于一些符号．首先，假设以年利率12%每年计n次复利．这意味着，每次计算复利时，复利的利率是0.12/n。这意味着n变得越来越大．也就是说，我们想知道，当n→∞时上式的极限。年利率依旧为12%、每年计三次复利，并将它除以3会得到4%，然后计算复利三次，我们的财富将会增加到原来的。

一个代数表达式（通常只有一个字母：x，y，z…，如果它取代了一个未知值（物理、经济、时间等），则称为“变量”。变量的作用是占据一个值所在的位置，如果该值可用的话。比如我们有这样一个问题，如果税率是40%，一个人需要缴纳多少税款？为了回答这样的问题需要了解此人的年薪。由于工资是未知的，我们用一个变量代替它。例如，如果我们定义变量 x = 此人的工资。他将缴纳40%的税款，即。税款 = 40%x = 0.4x。因此，变量x在税收计算中占据了工资的位置。

符号∑（sigma）通常用于表示多个项的总和。这个符号通常伴随着一个索引，该索引变化以包含总和中必须考虑的所有术语。例如，݊第一个整数的和可以用以下方式表示：或者，这两种表示意思都是一样的。更一般地说，表达式表示n项的总和。

对于任何想发送加密信息的人，另一个问题是如何让接收人知道这条信息一开始是如何加密的。对于像字母替换式密码这样的密码，问题在于，一旦窃听者知道了加密方案，后续的信息都可以轻松获取。公钥加密(public-key encryption，简称PKE)系统可以解决这个问题。它使用了两个密钥，一个是公开的，另一个是保密的。两个密钥均由受信任的认证机构办法。公钥以电子证书的形式保存，任何想与其持有者进行通信的人都可以访问。公钥和私钥本质上都是数学上相关的多位数。

假设你想设计一个矩形的箱子来存放尽可能多的物品，但要满足两个约束条件。第一，这个箱子必须有一个正方形的横截面，宽x英寸，深x英寸。第二，它必须能放进某家航空公司的机舱行李架。根据航空公司对随身携带行李的规定，箱子的宽度、深度和高度之和不能超过45英寸。那么，当x是多少英寸时，箱子的容积最大呢？