网络科学引论中的网络动力系统章节阅读（第18章）

18.1 动力系统是什么？

动力系统主要是描述系统内部单变量或者多变量和t之间的关系。例如网络传播章节中，

在完全混合假设下，x为感染者占总人数的比例，研究x与t的关系，这一章会介绍一些关于分析这种方程的技巧。

 

18.1.1  不动点研究

   研究动力系统一个最重要的方向就是系统在不动点的性质，固定点是系统的稳定状态，即系统中一个或者多个变量不再改变其状态。它有两个重要特征，首先，它们相对容易找到，其次，当系统接近但不完全位于某个固定点时，可以直接确定系统的动态。 通过围绕该点展开，可以找到接近固定点的动力学。例如，对于只有一个变量的系统而言，假设x*为不动点，那么 表示x*的邻域范围。则该系统满足

对第二个式子，我们使用泰勒展开，得到

由于f(x*)=0,忽略极小项，我们有

这是一个带解的线性一阶微分方程，解之可得

上式告诉我们， 表示x距离x*固定点的距离，它将随时间成指数增长或衰减，这取决于λ的符号。λ大于0，表示离开固定点，λ小于0，表示趋向固定点。那么如果拓展到系统有两个变量呢？那么就有

那么就会有λ1和λ2来表示在x*，y*的邻域状态，这是很复杂的。之后本书介绍了当系统涉及多变量和t的关系式时，我们可以取某些特殊情况，判断其在不动点周围性质。最后，还有一类系统，具有自循环特征，比如SIRS模型，具有周期性的变化。

 

 

18.2 网络动力系统的一些例子

    现在让我们将之前的一些思想应用于网络上的动态系统。 我们想要研究整个网络所有节点某个状态趋于不动点跟时间的关系，首先，我们的意思是我们有独立的动力学变量xi，yi， 。 在我们网络的每个顶点i上，它们仅沿着网络的边缘耦合在一起。 也就是说，当我们针对变量xi的时间演化编写方程式时，该方程式中出现的各个项仅包含xi，顶点i上的其他变量或与i相邻的顶点上的一个或多个变量。也就是条件独立性。

一个典型的例子就是

完全混合假设下，该方程表示一个节点x的感染状态跟t的关系，由它的邻居节点描述。我们可以将其拓展到一般形式

   在这里，我们将包含相邻顶点变量的项与不包含相邻顶点变量的项分开。 您可以将fi(xi_看作是指定顶点的固有动力学，它指定了变量xi在顶点之间没有任何连接的情况下如何演化，gij描述边对x节点状态的贡献。有时候，比如在传播网络中，每个节点的固定内部动力学是相似的，那么公式可以写成

接下来的内容，都基于这个假设。比如在SI模型中，f（xi）为0，g(xi, xj) = β(1 − xi)xj。

18.2.1 线性稳定性分析

我们将用线性分析工具来分析18.35 公式在不动点邻域情况，比如有x*为不动点，对于所有的节点，都有

注意这是一个所有节点都稳定状态，那么再次使用前面的技术，我们有，使用多次泰勒展开，得

 

     研究网络动力系统中每个节点状态和时间以及邻域节点关系，其实这和DMP中的推导每个节点状态和时间的关系式多么的相似，那么我们可以利用的是什么呢？

   *  将DMP中节点状态推导过程和这里的动力系统节点状态做对比，发现异同？

  * 将DMP中节点状态对比推导反映到SI模型上？

 

18.3  每个节点有多个状态的网络动力系统

在18.2的基础上，做一些拓展。

18.4 网络同步

本书没有讨论。

 

final 一些思考