欧拉函数模板

欧拉函数定义可看:数论四大定理

欧拉函数的一些性质:

欧拉公式的延伸:一个数的所有质因子之和是 E(n)*n/2。
欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有a^E(n) ≡ 1 mod n。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,E(m*n)=E(m)*E(n)。
若n是质数p的k次幂,E(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
特殊性质:当n为奇数时,E(2n)=E(n)


扩展性质:因为a^φ(p) ≡ 1 (mod p)所以a^b % p  =  (a%p)^(b%φ(p)) % p(前提是a和p互质)
如果p是质数a^b % p  =  (a%p)^(b%(p-1) % p
这个公式好像可以摆脱a,p互质的束缚:a^b % p  =  (a%p)^(φ(p) + b%φ(p)) % p  (我也不知道为什么==,数论真是个神奇的东西)

/*欧拉函数解法:
Euler函数表达通式(即解法):E(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…(1-1/pn),
其中p1,p2……pn为x的所有素因数,x是不为0的整数。E(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。*/
//复杂度:O(√n)
int phi(int x){
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i == 0){
            ans = ans/i * (i-1);
            while(x % i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x>1) ans = ans/x*(x-1);
    return ans;
}

//欧拉筛
//1.跟埃筛素数差不多
const int N = 1e6+5;
int phi[N];

void Euler(int n){  //筛出所有小于等于n的欧拉函数值
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!phi[i]){
            for(int j=i;j<=n;j+=i){
                if(!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}
//2.比上面更快的方法,需要用到如下性质。当p为质数:
//(1). phi(p)=p-1   因为质数p除了1以外的因数只有p,故1至p的整数只有p与p不互质
//(2). 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p
//(3).若i mod p ≠0,  那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 )
const int N = 1e6+5;
int phi[N],prime[N];
int tot;  //计数,表示prime[N]中有多少质数
void Euler(int n){  ////筛出所有小于等于n的欧拉函数值和素数
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    tot=0,phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!phi[i]){
            phi[i] = i-1;
            prime[tot++]=i;
        }
        for(int j=0;j<tot&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){
            if(i%prime[j]!=0) phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
            else{
                phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}


<think>好的,用户想查找关于欧拉函数在C++中的实现或用法,特别是询问“Euler function implementation in C++”或者“how to use Euler function in C++”。我需要先明确用户所说的欧拉函数具体指的是哪一个,因为数学中有多个以欧拉命名的函数,比如欧拉φ函数(Euler's totient function)和欧拉数(Euler numbers),但通常提到欧拉函数时,更多是指欧拉φ函数,用于计小于n且与n互质的正整数的个数。 首先,用户可能需要的是欧拉φ函数的实现方法。在C++中,实现这个函数需要考虑效率和正确性。常见的实现方式包括直接计、使用质因数分解或者预先计素数表来优化。需要检查用户提供的引用内容是否有相关内容。但根据提供的引用[1],里面提到了C++11和C++14中constexpr函数的用法,这可能与编译时计欧拉函数有关,比如使用constexpr在编译时生成结果,提升运行效率。而引用[2]和[3]似乎与数论或机器人相关,可能不直接相关。 接下来,我需要确认用户的应用场景。可能用户是在进行密码学相关的工作,比如RSA法中需要用到欧拉函数,或者是在解决数论问题。因此,回答中需要涵盖基本的实现方法,可能的优化策略,以及应用场景。 然后,考虑用户可能的疑问点:如何高效计欧拉函数?如何处理大数的情况?有没有现成的库或函数可以使用?或者如何在C++中利用模板或constexpr进行编译时计? 根据引用[1],constexpr在C++14中可以用于更复杂的函数,包括条件语句和循环,这可能允许在编译时计欧拉函数的值,这对性能敏感的应用是有帮助的。因此,在回答中可以提供一个使用constexpr实现的示例,同时说明其限制,比如递归深度或编译时间的问题。 此外,用户可能需要了解欧拉函数的基本实现,所以需要提供一个标准的实现方法,例如基于质因数分解的步骤。这里需要确保代码的正确性,比如正确遍历可能的因数,并应用欧拉函数的乘积公式。 还需要注意用户提到的“用法”,即如何在C++程序中使用这个函数,可能需要示例代码,并解释输入输出的情况。 最后,生成相关问题时要围绕欧拉函数的实现细节、优化方法、应用场景以及与其他函数的关系等方面,帮助用户进一步探索。</think>关于欧拉函数(Euler's totient function)在C++中的实现,以下是分步骤说明: ### 1. 欧拉函数定义 欧拉函数$\phi(n)$表示小于$n$且与$n$互质的正整数个数。例如: $$\phi(6) = 2 \quad (\text{因1,5满足条件})$$ ### 2. 基于质因数分解的实现 ```cpp #include <iostream> using namespace std; int euler_phi(int n) { int result = n; for(int p = 2; p * p <= n; ++p) { if(n % p == 0) { while(n % p == 0) n /= p; result -= result / p; } } if(n > 1) result -= result / n; return result; } int main() { cout << euler_phi(12); // 输出4(1,5,7,11) return 0; } ``` 该法时间复杂度为$O(\sqrt{n})$,基于质因数分解后应用公式: $$\phi(n) = n \prod_{p|n}\left(1 - \frac{1}{p}\right)$$ ### 3. 使用C++14 constexpr优化 引用[1]提到的C++14特性可实现编译时计: ```cpp constexpr int euler_phi_constexpr(int n) { int result = n; for(int p = 2; p * p <= n; ++p) { if(n % p == 0) { while(n % p == 0) n /= p; result -= result / p; } } if(n > 1) result -= result / n; return result; } static_assert(euler_phi_constexpr(12) == 4, ""); ``` ### 4. 预计筛法优化 对于需要多次查询的情况,可用埃拉托斯特尼筛法预处理: ```cpp vector<int> phi_sieve(int max_n) { vector<int> phi(max_n + 1); for(int i = 0; i <= max_n; ++i) phi[i] = i; for(int p = 2; p <= max_n; ++p) if(phi[p] == p) // p是质数 for(int k = p; k <= max_n; k += p) phi[k] -= phi[k] / p; return phi; } ```
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