欧拉函数模板

欧拉函数定义可看：数论四大定理

欧拉函数的一些性质：

欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是 E(n)*n/2。
欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有a^E(n) ≡ 1 mod n。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，E(m*n)=E(m)*E(n)。
若n是质数p的k次幂，E(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
特殊性质：当n为奇数时，E(2n)=E(n)


扩展性质：因为a^φ(p) ≡ 1 (mod p)所以a^b % p  =  (a%p)^(b%φ(p)) % p（前提是a和p互质）
如果p是质数a^b % p  =  (a%p)^(b%(p-1) % p
这个公式好像可以摆脱a,p互质的束缚：a^b % p  =  (a%p)^(φ(p) + b%φ(p)) % p  （我也不知道为什么==,数论真是个神奇的东西）

/*欧拉函数解法：
Euler函数表达通式(即解法)：E(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…(1-1/pn),
其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。E(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。*/
//复杂度:O（√n）
int phi(int x){
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i == 0){
            ans = ans/i * (i-1);
            while(x % i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x>1) ans = ans/x*(x-1);
    return ans;
}

//欧拉筛
//1.跟埃筛素数差不多
const int N = 1e6+5;
int phi[N];

void Euler(int n){  //筛出所有小于等于n的欧拉函数值
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!phi[i]){
            for(int j=i;j<=n;j+=i){
                if(!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}
//2.比上面更快的方法，需要用到如下性质。当p为质数：
//(1). phi(p)=p-1   因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质
//(2). 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p
//(3).若i mod p ≠0,  那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 )
const int N = 1e6+5;
int phi[N],prime[N];
int tot;  //计数,表示prime[N]中有多少质数
void Euler(int n){  ////筛出所有小于等于n的欧拉函数值和素数
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    tot=0,phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!phi[i]){
            phi[i] = i-1;
            prime[tot++]=i;
        }
        for(int j=0;j<tot&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){
            if(i%prime[j]!=0) phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
            else{
                phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}