Misra & Gries边着色算法

Misra&Gries边着色算法解析
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Misra & Gries边着色算法

边着色问题：给图的每条边制定一种颜色，使得任意两条相邻的边的颜色均不相同

为了解决本次的问题首先需要引入：Misra & Gries边着色算法

Misra & Gries边着色算法是图论算法的一种，能够在多项式内找到任意图的一种边着色方案。这种着色算法最多使用 Δ + 1 \Delta+1 Δ+1种颜色， Δ \Delta Δ是该图节点的最大度数。这对于一些图而言是最优的，根据Vizing定理，最坏情况下，这种算法给出的结果比最优值多使用一种颜色

论文： “A constructive proof of Vizing’s theorem”

首先介绍几个概念：

扇

介绍扇之前需要先引入定义.对于一种颜色x，如果 c o l o r ( u , z ) ≠ x color(u,z)\ne x color(u,z)̸​=x对所有的 ( u , z ) ∈ E ( G ) ( z ≠ v ) (u,z)\in E(G)(z\ne v) (u,z)∈E(G)(z̸​=v)成立，则称这种颜色x对边(u,v)未使用

再来引入扇的定义.

对顶点u的一扇，是一个顶点序列，记为 F [ 1 : K ] F[1:K] F[1:K]该序列满足:

  1. F[1:k]为一个包含u的所有或者部分邻接节点的序列
  2. ( F [ 1 ] , u ) (F[1],u) (F[1],u)未被着色
  3. c o l o r ( u , F [ i + 1 ] ) ​ color(u,F[i+1])​ color(
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