二分图匹配

最新推荐文章于 2023-11-11 16:52:44 发布

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二分图（匈牙利算法）专栏收录该内容

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本文详细介绍了匈牙利算法的基本概念、流程、代码实现和实际应用，旨在帮助读者理解如何利用此算法解决二分图的最大匹配问题，以及如何在实际场景中应用此算法以提高效率。

今天看了很多博客！终于看懂了一点点，想记录一下！

首先你要知道什么是增广路径（虽然我现在还不明白）

这是一种用增广路求二分图最大匹配的算法。它由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。定义未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。

交错路：设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。

可增广路：两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。

流程图

伪代码实现：

bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路
{
    while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)
    {
        if (j不在增广路上)
        {
            把j加入增广路;
            if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)
            {
                修改j的对应项为k;
                则从k的对应项出有可增广路,返回true;
            }
        }
    }
    则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
}

void 匈牙利hungary()
{
    for i->1 to n
    {
        if (则从i的对应项出有可增广路)
            匹配数++;
    }
    输出 匹配数;
}

二分图是一种特殊的图

对于无向图G=(V,E)，如果V可以分为两个互不相交的子集(X,Y)，并且图中的每条边所依附的两点属于不同的子集，则图G则称为一个二分图,所以二分图也可以记作G(X,E,Y)

边的描述：

e={x,y}
x来自G的顶点集X，y来自G的顶点集Y
我们说e连接顶点x和y，并说x和y与e关联

判断是否为二分图：

定理：一个无向图G=<V,E>是二分图当且仅当G中无奇数长度的回路。

匈牙利算法：

1.对于左边X的每个点，看看右边Y有没有增广路，如果有，那么进行增广，没有就不添加新的匹配。
2.当对最后一个点做完增广路以后，整个图就形成了一个最大匹配。

寻找交错路径（增广路）

图1 图2

1)有奇数条边。

(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。

(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）

(4)整条路径上没有重复的点。

(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。）

(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。）

(7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的截断），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。（如图2所示，新的匹配就是所有蓝色的边，而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为3。）

【书本上的算法往往讲得非常复杂，我和我的朋友计划用一些简单通俗的例子来描述算法的流程】

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉快哭了），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

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一：先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~ 1号男生可以找2号妹子了~~~ 3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

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四：接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“ 腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

楼上讲得很好但是还是没说出来重点，下面我重点讲一下代码：

int find_path(int x)
{
     for(int i=1;i<=m;i++)
     {//额，这里明确表示只有没被喜欢才可以，如果一个女的喜欢这个男的了？其他的女的不是连if里面的都执行不了了吗？对的！
         if(!vis[i] && pp[x][i])//如果这个男的没有被访问，且女的喜欢男的
         {
            vis[i]=1;//这个男的就被访问了
            if(!map[i] || find_path(map[i]))//注意这个||如果这个男的名花没主那么这个男的的对象就是这个女的！如果名花有主了怎么办？
            {//就需要用到这个了《find_path(map[i])》找到她的对象，让她再找其他的男的试试！如果return 1了（这里其实是搜索，但是这里简化了！）
                map[i]=x;//就说明这个女的可以喜欢这个男的了！
                return 1;
            }
         }
     }
     return 0;
}

请看这里（到底干了什么？）

for(int i=1;i<=w;i++)
        {
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            if(find_path(i))  sum++;
        }

把男的被喜欢权限全部清为0了！

妈的，最后才看到！呼啦啦。。。。。算了理解入门了！