14、多尺度计算方法：多重网格与Metropolis耦合

多尺度计算方法：多重网格与Metropolis耦合

1. 多重网格方法

多重网格方法最初在物理和应用数学领域发展起来，主要用于求解微分方程组。当这些方程组无法进行解析求解时（复杂系统通常如此），就需要进行数值求解。

1.1 单网格更新算法的问题

数值求解需要在参数空间上设置网格，然后使用基于单网格块更新的迭代方法（如雅可比算法）来寻找解。这些算法能消除误差的高频分量，但无法消除低频分量。

1.2 多重网格方法的原理

多重网格方法认识到，一个分辨率级别的低频分量在更粗的分辨率级别会变成高频分量。同时，粗网格会导致解的不准确，而细网格则需要更多的计算时间。因此，多重网格方法在不同分辨率级别之间循环，在每个级别进行一些单点更新，以加速计算并收敛到准确解。

1.3 多重网格循环机制

常见的多重网格循环机制有V循环和W循环：
- V循环 ：从最细的分辨率级别开始，逐步移动到最粗的分辨率级别，然后再逐步回到最细的分辨率级别。
- W循环 ：相当于连续应用两个V循环。

此外，还有其他循环机制，如仅从粗到细的级别，或者动态调整网格，以在不损失最终结果准确性的前提下加快求解速度。这种动态调整网格的方法已应用于统计问题。

1.4 多重网格方法的流程图

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