9、多尺度随机场模型：理论、模拟与应用

多尺度随机场模型：理论、模拟与应用

1. 多尺度随机场模型基础

多尺度随机场模型在许多领域都有重要应用，它可以处理不同分辨率下的数据。在这个模型中，有不同的分辨率级别，用 (x_l) 表示第 (l) 级，其中 (l = 0, 1, \cdots, L - 1)，(x_0) 是最粗的级别，随着 (l) 的增加，级别逐渐变细。

1.1 信息与知识的定义

• (I_l) 表示关于第 (l) 级行为的初始知识。
• (G_l) 是从最粗级别到第 (l) 级 (x_l) 的累积知识，(G_0 = I_0) 表示关于最粗级别 (x_0) 的生成机制的知识以及到 (x_0) 级别的累积知识，且 (G_1 = I_0 + I_1)，一般地，(G_l = G_{l - 1} + I_l)。

1.2 模型的基本假设

• 给定 (I_l)，第 (l) 级 (x_l) 遵循一个适当的马尔可夫随机场过程，即 (x_l|I_l \sim N(\mu_1n_l, \Sigma_l))，其中 (\Sigma_l^{-1} = \tau_l(\alpha_lI_{n_l} + H_l))。
• 为了便于估计和模拟，将其重写为 (p(x_l|I_l) \propto \tau^{0.5n_l} \prod_{k = 1}^{n} (\lambda_{lk} + \alpha_l)^{0.5} \exp\left{-0.5\tau_l\left[\mu^2n_l\alpha_l - 2\mu\alpha_l\sum_{k = 1}^{n} x_{lk} + \alpha_l\sum_{k = 1}