8、多尺度模型：高斯与泊松案例及随机领域应用

多尺度模型：高斯与泊松案例及随机领域应用

1 高斯案例

1.1 似然函数

为解决分布退化问题，定义 (D_{lj}^ ) 为 (y_{lj}) 的后代集合去掉一个后代（去掉哪个后代是任意的）。似然函数可进行多尺度分解：
(\prod_{j = 1}^{n_{L - 1}} p(y_{L - 1,j}|\mu) = \left[\prod_{j = 1}^{n_0} p(y_{0,j}|\mu)\right] \times \prod_{l = 0}^{L - 2} \prod_{j = 1}^{n_l} p(y_{D_{lj}^ }|y_{lj}, \mu))

设 (y_{lj}) 的期望值和方差分别为 (\mu_{lj}) 和 (\sigma_{lj}^2)，定义 (y_l = (y_{l,1}, \ldots, y_{l,n_l})’) 等。在给定 (\mu_{L - 1}) 和 (\sigma_{L - 1}^2) 条件下 (y_l) 条件独立的假设下，((l, j)) 处的方差可递归计算：
(\sigma_{lj}^2 = \sum_{(l’,j’) \in D_{lj}} \sigma_{l + 1,j’}^2)

假设最精细级别 (L - 1) 的观测值在给定均值过程 (\mu) 条件下的联合分布是多元高斯分布，即 (y_l|\mu_l, \Sigma_l \sim N(\mu_l, \Sigma_l))。(y_{lj}) 和 (y_{D_{lj}^ }) 的联合分布为：
(\begin{bmatrix} y_{lj} \ y_{D_{lj}^ } \end{bmatrix