38、递归算法的深入解析与应用

递归算法的深入解析与应用

1. 直接递归与间接递归

递归函数是编程中一种强大的工具，它可以分为直接递归和间接递归。
- 直接递归 ：函数直接调用自身。例如，一个函数在其函数体中直接调用自己来解决问题。
- 间接递归 ：当函数 A 调用函数 B，而函数 B 又调用函数 A 时，就形成了间接递归。甚至可能有多个函数参与到这种递归中，比如函数 A 调用函数 B，函数 B 调用函数 C，函数 C 再调用函数 A。

2. 递归算法示例

2.1 列表元素范围求和

使用递归对列表中一定范围的元素进行求和。以下是 range_sum 函数的定义和使用示例：

def range_sum(num_list, start, end):
    if start > end:
        return 0
    else:
        return num_list[start] + range_sum(num_list, start + 1, end)

numbers = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
my_sum = range_sum(numbers, 3, 7)
print(my_sum)

该函数的基本情况（base case）是当 start 参数大于 end 参数时，函数返回 0。否则，函数返回 num_list[start] 加上递归调用的返回值。

以下是完整的示例程序：

def main():
    numbers = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
    my_sum = range_sum(numbers, 2, 5)
    print('The sum of items 2 through 5 is', my_sum)

def range_sum(num_list, start, end):
    if start > end:
        return 0
    else:
        return num_list[start] + range_sum(num_list, start + 1, end)

main()

程序输出：

The sum of elements 2 through 5 is 18

2.2 斐波那契数列

斐波那契数列是一个著名的数学序列，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。其递归函数的实现如下：

def fib(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fib(n - 1) + fib(n - 2)

for number in range(1, 11):
    print(fib(number))

该函数有两个基本情况：当 n 等于 0 时返回 0，当 n 等于 1 时返回 1。否则，函数返回 fib(n - 1) 加上 fib(n - 2) 的结果。

2.3 求最大公约数

使用递归计算两个数的最大公约数（GCD）。以下是 gcd 函数的实现：

def gcd(x, y):
    if x % y == 0:
        return y
    else:
        return gcd(y, x % y)

num1 = int(input('Enter an integer: '))
num2 = int(input('Enter another integer: '))
print('The greatest common divisor of')
print('the two numbers is', gcd(num1, num2))

该函数的基本情况是当 x 能被 y 整除时，返回 y 。否则，递归调用 gcd(y, x % y) 。

2.4 汉诺塔问题

汉诺塔是一个经典的数学游戏，常用于展示递归的强大之处。游戏规则如下：
- 有三根柱子和一组中间有孔的圆盘，圆盘按大小顺序堆叠在其中一根柱子上，最大的圆盘在最下面。
- 目标是将所有圆盘从第一根柱子移动到第三根柱子，中间的柱子可以作为临时存放点。
- 移动规则：
- 每次只能移动一个圆盘。
- 圆盘不能放在比它小的圆盘上面。
- 除了移动过程中，所有圆盘都必须放在柱子上。

以下是实现汉诺塔问题的递归函数：

def move_discs(num, from_peg, to_peg, temp_peg):
    if num > 0:
        move_discs(num - 1, from_peg, temp_peg, to_peg)
        print('Move a disc from peg', from_peg, 'to peg', to_peg)
        move_discs(num - 1, temp_peg, to_peg, from_peg)

num_discs = 3
from_peg = 1
to_peg = 3
temp_peg = 2
move_discs(num_discs, from_peg, to_peg, temp_peg)
print('All the pegs are moved!')

该函数的基本情况是当 num 等于 0 时，不进行任何操作。否则，先将 num - 1 个圆盘从 from_peg 移动到 temp_peg ，然后将最后一个圆盘从 from_peg 移动到 to_peg ，最后将 num - 1 个圆盘从 temp_peg 移动到 to_peg 。

3. 递归与循环的比较

任何可以用递归实现的算法也可以用循环来实现。然而，递归函数调用通常比循环效率低，因为每次函数调用都会带来额外的系统开销。在许多情况下，使用循环的解决方案比递归解决方案更明显。但有些问题使用递归更容易解决，例如计算最大公约数的数学定义就非常适合递归方法。

4. 总结

递归是一种强大的编程技术，但在使用时需要谨慎考虑其效率和适用性。对于一些问题，递归可以提供简洁而优雅的解决方案；而对于其他问题，循环可能是更好的选择。在实际编程中，需要根据具体情况选择最合适的方法。

以下是一个简单的流程图，展示了递归函数的基本结构：

graph TD;
    A[开始] --> B{是否为基本情况};
    B -- 是 --> C[返回结果];
    B -- 否 --> D[递归调用自身];
    D --> E[处理结果];
    E --> C;

5. 复习问题

以下是一些关于递归的复习问题，以帮助巩固所学知识：
1. 选择题
- 递归函数 _ _ 。
a. 调用不同的函数
b. 异常终止程序
c. 调用自身
d. 只能被调用一次
- 一个函数从程序的主函数中被调用一次，然后它自己调用自己四次。递归深度是 _ _ 。
a. 一
b. 四
c. 五
d. 九
- 问题中可以不使用递归解决的部分是 _ _ 情况。
a. 基本
b. 可解
c. 已知
d. 迭代
- 问题中使用递归解决的部分是 _ _ 情况。
a. 基本
b. 迭代
c. 未知
d. 递归
- 当一个函数显式地调用自身时，称为 _ _ 递归。
a. 显式
b. 模态
c. 直接
d. 间接
- 当函数 A 调用函数 B，函数 B 又调用函数 A 时，称为 _ _ 递归。
a. 隐式
b. 模态
c. 直接
d. 间接
- 任何可以用递归解决的问题也可以用 _ _ 解决。
a. 决策结构
b. 循环
c. 顺序结构
d. 案例结构
- 计算机在调用函数时所采取的操作，如为参数和局部变量分配内存，被称为 _ _ 。
a. 开销
b. 设置
c. 清理
d. 同步
- 递归算法在递归情况下必须 _ _ 。
a. 不使用递归解决问题
b. 将问题简化为原问题的较小版本
c. 确认发生错误并终止程序
d. 将问题扩大为原问题的较大版本
- 递归算法在基本情况下必须 _ _ 。
a. 不使用递归解决问题
b. 将问题简化为原问题的较小版本
c. 确认发生错误并终止程序
d. 将问题扩大为原问题的较大版本
2. 判断题
- 使用循环的算法通常比等效的递归算法运行得更快。
- 有些问题只能通过递归解决。
- 并非所有递归算法都必须有基本情况。
- 在基本情况下，递归方法用原问题的较小版本调用自身。
3. 简答题
- 在之前的示例中， message 函数的基本情况是什么？
- 计算一个数的阶乘的规则如下：如果 n = 0 ，则 factorial(n) = 1 ；如果 n > 0 ，则 factorial(n) = n * factorial(n - 1) 。如果根据这些规则设计一个函数，基本情况和递归情况分别是什么？
- 递归是否是解决问题所必需的？对于具有重复性的问题，还可以使用什么其他方法？
- 当使用递归解决问题时，为什么递归函数必须调用自身来解决原问题的较小版本？
- 递归函数通常如何简化问题？
4. 算法工作台
- 以下程序将显示什么？

def main():
    word = 'test'
    show_me(word)

def show_me(word):
    print(word)
    new_word = word[1:]
    if len(new_word) > 0:
        show_me(new_word)

main()

- 当运行以下代码时，`halver` 函数将被调用多少次？

def main():
    num = 10
    halver(num)

def halver(number):
    print(number)
    half = number / 2
    if half >= 1:
        halver(half)

main()

- 将以下使用循环的函数重写为递归函数，实现相同的操作：

def queue(length):
    while length > 0:
        print('Please wait.')
        length = length - 1
    print('It is your turn.')

5. 编程练习
   • 递归打印 ：设计一个递归函数，接受一个整数参数 n ，并从 n 开始每隔一个数字打印一次，直到最小为 0。假设 n 总是一个正整数。
   • 递归乘法 ：设计一个递归函数，接受两个参数 x 和 y ，返回 x 乘以 y 的值。可以将乘法看作重复加法。
   • 递归行 ：编写一个递归函数，接受一个整数参数 n ，在屏幕上显示 n 行星号，第一行显示 1 个星号，第二行显示 2 个星号，依此类推，直到第 n 行显示 n 个星号。
   • 列表中的最大值 ：设计一个函数，接受一个列表作为参数，返回列表中的最大值。该函数应使用递归方法找到最大值。
   • 递归列表求和 ：设计一个函数，接受一个数字列表作为参数，递归地计算列表中所有数字的总和并返回该值。
   • 判断回文 ：设计一个函数，接受一个字符串作为参数，假设该字符串只包含一个单词。使用递归方法判断该单词是否为回文（即从前往后和从后往前读都相同）。
   • 递归幂运算 ：设计一个函数，使用递归方法将一个数提升到指定的幂。该函数应接受两个参数：要提升的数和指数，假设指数是非负整数。
   • 阿克曼函数 ：阿克曼函数是一个递归数学算法，可用于测试系统对递归性能的优化程度。设计一个函数 ackermann(m, n) ，实现阿克曼函数的逻辑：
     • 如果 m = 0 ，则返回 n + 1 。
     • 如果 n = 0 ，则返回 ackermann(m - 1, 1) 。
     • 否则，返回 ackermann(m - 1, ackermann(m, n - 1)) 。
       设计完成后，使用较小的 m 和 n 值进行测试。

通过这些复习问题和编程练习，可以进一步加深对递归的理解和掌握。在实际编程中，不断练习和应用递归算法，将有助于提高编程能力和解决问题的能力。

递归算法的深入解析与应用

6. 复习问题答案解析

6.1 选择题答案

题目	答案	解析
递归函数 _ _ _。	c. 调用自身	递归函数的定义就是函数调用自身来解决问题。
一个函数从程序的主函数中被调用一次，然后它自己调用自己四次。递归深度是 _ _ _。	c. 五	从主函数调用算一次，自己调用四次，总共递归深度为 5 次。
问题中可以不使用递归解决的部分是 _ _ _ 情况。	a. 基本	基本情况是递归算法中不需要递归调用就能解决的部分。
问题中使用递归解决的部分是 _ _ _ 情况。	d. 递归	递归情况就是需要通过递归调用函数来解决的部分。
当一个函数显式地调用自身时，称为 _ _ _ 递归。	c. 直接	直接递归就是函数直接调用自身。
当函数 A 调用函数 B，函数 B 又调用函数 A 时，称为 _ _ _ 递归。	d. 间接	这种多个函数相互调用形成的递归是间接递归。
任何可以用递归解决的问题也可以用 _ _ _ 解决。	b. 循环	递归和循环都可以实现重复操作，能递归解决的问题通常也能用循环解决。
计算机在调用函数时所采取的操作，如为参数和局部变量分配内存，被称为 _ _ _。	a. 开销	这些操作会带来额外的系统开销。
递归算法在递归情况下必须 _ _ _。	b. 将问题简化为原问题的较小版本	递归算法需要不断将问题简化，直到达到基本情况。
递归算法在基本情况下必须 _ _ _。	a. 不使用递归解决问题	基本情况就是不需要递归就能解决问题的情况。

6.2 判断题答案

• 使用循环的算法通常比等效的递归算法运行得更快 ：正确。递归函数调用会有额外的系统开销，而循环相对更高效。
• 有些问题只能通过递归解决 ：错误。任何可以用递归解决的问题都可以用循环解决。
• 并非所有递归算法都必须有基本情况 ：错误。基本情况是递归算法终止的条件，没有基本情况会导致无限递归。
• 在基本情况下，递归方法用原问题的较小版本调用自身 ：错误。基本情况是不需要递归调用就能解决问题的情况。

6.3 简答题答案

• 在之前的示例中， message 函数的基本情况是什么 ：由于未给出 message 函数的具体代码，无法确定其基本情况。
• 计算一个数的阶乘的规则如下：如果 n = 0 ，则 factorial(n) = 1 ；如果 n > 0 ，则 factorial(n) = n * factorial(n - 1) 。如果根据这些规则设计一个函数，基本情况和递归情况分别是什么 ：基本情况是 n = 0 时，返回 1；递归情况是 n > 0 时，调用 factorial(n - 1) 并乘以 n 。
• 递归是否是解决问题所必需的？对于具有重复性的问题，还可以使用什么其他方法 ：递归不是解决问题所必需的，对于具有重复性的问题，还可以使用循环来解决。
• 当使用递归解决问题时，为什么递归函数必须调用自身来解决原问题的较小版本 ：通过将问题简化为较小版本，最终可以达到基本情况，从而避免无限递归，使问题能够得到解决。
• 递归函数通常如何简化问题 ：递归函数通常通过改变参数，使问题规模逐渐变小，例如在计算阶乘时，将 n 变为 n - 1 。

6.4 算法工作台答案

• 以下程序将显示什么 ：

def main():
    word = 'test'
    show_me(word)

def show_me(word):
    print(word)
    new_word = word[1:]
    if len(new_word) > 0:
        show_me(new_word)

main()

程序将显示：

test
est
st
t

• 当运行以下代码时， halver 函数将被调用多少次 ：

def main():
    num = 10
    halver(num)

def halver(number):
    print(number)
    half = number / 2
    if half >= 1:
        halver(half)

main()

halver 函数将被调用 4 次，分别处理 10、5、2.5、1.25。
- 将以下使用循环的函数重写为递归函数，实现相同的操作 ：

def queue(length):
    if length > 0:
        print('Please wait.')
        queue(length - 1)
    else:
        print('It is your turn.')

6.5 编程练习答案示例

• 递归打印 ：

def recursive_print(n):
    if n >= 0:
        print(n)
        recursive_print(n - 2)

recursive_print(10)

• 递归乘法 ：

def recursive_multiply(x, y):
    if y == 1:
        return x
    else:
        return x + recursive_multiply(x, y - 1)

print(recursive_multiply(3, 4))

• 递归行 ：

def recursive_lines(n):
    if n > 0:
        recursive_lines(n - 1)
        print('*' * n)

recursive_lines(5)

• 列表中的最大值 ：

def find_max(lst):
    if len(lst) == 1:
        return lst[0]
    else:
        sub_max = find_max(lst[1:])
        return lst[0] if lst[0] > sub_max else sub_max

numbers = [1, 3, 5, 2, 4]
print(find_max(numbers))

• 递归列表求和 ：

def recursive_list_sum(lst):
    if len(lst) == 0:
        return 0
    else:
        return lst[0] + recursive_list_sum(lst[1:])

numbers = [1, 2, 3, 4, 5]
print(recursive_list_sum(numbers))

• 判断回文 ：

def is_palindrome(word):
    if len(word) <= 1:
        return True
    elif word[0] != word[-1]:
        return False
    else:
        return is_palindrome(word[1:-1])

print(is_palindrome('radar'))

• 递归幂运算 ：

def recursive_power(base, exponent):
    if exponent == 0:
        return 1
    else:
        return base * recursive_power(base, exponent - 1)

print(recursive_power(2, 3))

• 阿克曼函数 ：

def ackermann(m, n):
    if m == 0:
        return n + 1
    elif n == 0:
        return ackermann(m - 1, 1)
    else:
        return ackermann(m - 1, ackermann(m, n - 1))

print(ackermann(2, 3))

7. 递归算法总结与展望

递归算法是一种强大的编程技术，它通过函数调用自身来解决问题。在本文中，我们介绍了直接递归和间接递归的概念，并通过多个示例展示了递归算法的应用，包括列表元素范围求和、斐波那契数列、最大公约数计算和汉诺塔问题。同时，我们还比较了递归和循环的优缺点，指出递归虽然在某些问题上能提供简洁的解决方案，但通常效率较低。

在实际编程中，我们需要根据问题的特点选择合适的方法。对于一些具有递归性质的问题，如数学定义明确的问题，递归算法可以提供清晰的实现思路；而对于大多数重复性问题，循环可能是更高效的选择。

以下是一个简单的流程图，展示了选择递归或循环的决策过程：

graph TD;
    A[问题] --> B{问题是否具有递归性质};
    B -- 是 --> C{递归算法是否效率可接受};
    C -- 是 --> D[使用递归算法];
    C -- 否 --> E[使用循环算法];
    B -- 否 --> E;

通过不断练习和应用递归算法，我们可以提高编程能力和解决问题的能力。同时，了解递归算法的原理和应用场景，也有助于我们更好地理解计算机科学中的其他概念和技术。希望本文能为你在递归算法的学习和应用中提供帮助。