5、利用二进制粒子群优化算法解决有界背包问题

利用二进制粒子群优化算法解决有界背包问题

1. 引言

背包问题（KP）是一类组合优化问题，属于NP难问题，在工业、经济和金融等领域具有重要的理论意义和应用价值。它包含多种扩展形式，如经典的0 - 1背包问题（0 - 1KP）、多维背包问题（MDKP）、多背包问题（MKP）、有界背包问题（BKP）、无界背包问题（UKP）、二次背包问题（QKP）、随机时变背包问题（RTVKP）和集合并背包问题（SUKP）等，且大多数已在各领域成功应用。

由于求解KP的确定性算法的时间复杂度为伪多项式时间，不适用于解决大规模KP实例，因此常使用进化算法（EAs）来解决KP。目前，已相继提出许多有效的进化算法，如遗传算法（GA）、粒子群优化算法（PSO）、差分进化算法（DE）、蚁群优化算法（ACO）、人工蜂群算法（ABC）和鲸鱼优化算法（WOA）等。其中，PSO是由Kennedy和Eberhart在1995年提出的著名进化算法，他们在1997年提出了二进制粒子群优化算法（BPSO）。此后，还提出了几种离散PSO的版本。BPSO非常适合解决离散域中的组合优化问题。

BKP是一个经典的KP问题，尚未有使用进化算法求解的相关报道。因此，本文使用BPSO来解决BKP，并通过与其他算法比较来验证其效率。

2. BKP的定义和数学模型

BKP的定义为：给定一组m个物品，每个物品i有一个利润pi、一个重量wi和一个界限bi。目标是选择每个物品i的数量，使得利润总和最大化，且重量总和不超过容量C。

BKP是0 - 1 KP的扩展形式，可以转换为0 - 1KP。在BKP中，每个物品i有一个界限bi，设每个物品数量的总和为n = ∑bi，则可将其视为一个有n个