3、生物医学成像中的双边正则化与小样本检测研究

生物医学成像中的双边正则化与小样本检测研究

1. 双边正则化在再生核希尔伯特空间中的应用

1.1 函数分解与基本正则化

在再生核希尔伯特空间中，函数 (f(x)) 可以表示为 (f(x) = \sum_{i=1}^{N} c_i k(x_i, x))，其中 (c_i \in \mathbb{R}^d)。并且，每个 (f) 还能分解为 (f(x) = \sum_{i=1}^{N} c_i k(x_i, x) + v_f)，且 (c_i) 是唯一的。同时，为了最小化 (g(|f|_H) + h(|f|_1))，(v_f) 必须为零，这意味着每个极小化问题的解都在 (H_0) 内。

1.2 双边正则化器

1.2.1 基本双边正则化器 (B(f))

引入双边正则化器 (B(f) := \sum_{i,j=1}^{N} |c_i - c_j|^2 k(x_i, x_j) + |v_f| H)，它根据参数 (c_i) 和 (c_j) 的接近程度（由 (k(x_i, x_j)) 表示）对其辐射差异进行惩罚。同时，有扩展的表示定理：
设训练数据 ({(x_i, y_i) \in \mathcal{X} \times \mathbb{R} | i = 1, \ldots, N}) 和损失函数 (L : \mathcal{X} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} \cup {\infty}) 给定，函数 (g_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}) 和 (p_i : H_0 \to \mathbb{R})（(i = 1 \ldots l)