15、神经场中的时空模式形成与PDE方法

神经场中的时空模式形成与PDE方法

1. 神经场模型中的特征分析

在神经场模型里，存在着诸多有趣的现象和分析方法。对于Evans函数$E(\lambda)$，其零点集由超越方程的解构成。通过寻找Evans函数实部和虚部零点集的交点，能够以数值方式确定特征值$\lambda$，这一方法在确定稳定性结果时发挥了重要作用。当出现复共轭特征值穿过虚轴的情况，就会引发Hopf分岔，进而产生行波呼吸子或者导致呼吸与自然行波凸起发射之间的锁模现象。

在自然行波凸起的稳定性以及Evans函数的处理方面，有众多相关研究。不同的研究从不同角度对其进行了探讨，并且在一些特殊情况下，如奇异摄动情形$0 < \alpha \ll 1$，也有学者对行波凸起的稳定性进行了分析。

在不同维度的神经场中，也有丰富的研究成果。在一维领域，研究了行波多凸起波；行波还被拓展到了非均匀突触耦合和非对称耦合的情况。在二维领域，对圆形波/靶形模式、螺旋波、行波和旋转多凸起以及行波凸起的碰撞等现象都进行了研究。

2. 神经场模型转化为PDE

神经场模型可分为一维和二维空间维度。对于某些耦合函数，能够将其转化为等价的偏微分方程（PDE）。

2.1 一维神经场模型

一维神经场模型的一种简单形式为：
[
\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -u(x,t) + \int_{-\infty}^{\infty} w(x - y)f(u(y,t))dy
]
其中，$w$具有对称性，即$w(-x) = w(x)$；当$x \to \infty$时，$w(x) \to 0$；