17、二维神经场的PDE方法与含空间依赖延迟的数值模拟

二维神经场的PDE方法与含空间依赖延迟的数值模拟

1. 二维神经场的PDE方法概述

在研究神经场方程时，将一维和二维空间中的神经场方程通过空间傅里叶变换转化为偏微分方程（PDE）是一种重要的研究手段。在二维空间中，我们可以利用这种方法来研究空间局部化的“凸起”和活动环的不稳定性，以及螺旋波。

一个关键的技术是对由PDE离散化定义的大型耦合非线性代数方程组的解进行数值延拓。自相关研究成果首次发表以来，许多其他作者也采用了这里介绍的一些技术，进一步深入研究神经场模型。

以螺旋波解为例，对于方程(5.40) - (5.41)的螺旋波解，其 随 的变化如图所示。其中，实线表示稳定解，虚线表示不稳定解，右侧面板是左侧的放大图。其他参数设置为：$A = 2$，$\beta = 20$，$B = 3.5$，$h = 0.6$，定义域半径为35。

2. 含空间依赖延迟的神经场模型

2.1 模型背景与意义

在物理系统中，有限传输速度的研究已经持续了数十年。在热扩散的研究中，实验表明某些介质中的传输速度（文献中也称为传播速度）是有限的，这与经典扩散理论中假设的无限传输速度不符。为了解决这个理论问题，Cattaneo最早在扩散方程中引入延迟项以实现有限传输速度。

近年来，提出了一种积分模型，该模型将有限传输速度作为空间依赖的延迟来考虑，并且可以从这个模型推导出Cattaneo方程。这个模型在计算神经科学中被广泛应用，被称为神经场模型，它成功地模拟了从实验中已知的神经活动。