71、MBC 方法：解决复杂图的逆问题

MBC 方法：解决复杂图的逆问题

1. MBC 方法概述

在解决复杂图的逆问题时，MBC 方法展现出了强大的能力。该方法通过溶解顶点和处理渗透域，尝试重建图的结构和相关势能。当已知所有有符号算子的 M 函数时，可以恢复上伽马图的 M 函数。在某些情况下，定理 22.2 可以用于任何固定的参数，而不一定局限于特定集合中的值。我们将陈述限制在特定值集合内，是因为在进一步溶解顶点时只会用到这些值。同时，对于至少三个法向导数非零的假设可以适当弱化，例如要求特征函数在某个保留顶点处的法向导数非零。

2. MBC 方法的几何思想示例

2.1 可重建的图示例

通过几个示例可以直观地了解 MBC 方法的应用。以图 22.3 为例，假设接触集仅包含单个顶点 V。通过溶解顶点 V 并剥离悬挂顶点，可以得到一个较小的图。重复溶解顶点 V’ 和 V’’ 的过程，逆问题可以简化为一个所有悬挂顶点都在接触集内的树，MBC 方法能够解决这个图的逆问题。同样，溶解顶点 V、V 和 V * 也可以解决该图的逆问题。

2.2 重建终止的情况

并非所有无悬挂边的图都能从单个接触顶点开始重建。存在两种情况会导致重建过程终止：
- 度为 2 的接触顶点 ：如图 22.4 所示，假设接触集为顶点 V，溶解顶点 V 并剥离悬挂顶点后，得到一个具有三个度为 2 的接触顶点的图。定理 22.2 无法应用于这些顶点，粗边形成了一道墙，将已重建的边与图的其余部分分隔开来。
- 瓶颈 ：图 22.5 展示了另一种情况，单个接触顶点 V 溶解后，得到一个具有三个顶点的图。由于其中两个接触顶点度为 2，只能溶解顶点 V’，最终得到一个包含两个度为 2 的顶点和一个瓶颈顶点 V’’ 的图。溶解瓶颈顶点会使图断开，且剩余图的逆问题无法通过拆解解决，因为相应的树不是独立的。

3. 渗透域、墙和瓶颈的定义

3.1 渗透域

对于有限紧凑无悬挂边的度量图 Γ，给定接触集 ∂Γ，选择单个接触顶点 Vj ∈ ∂Γ，应用 MBC 方法，通过溶解 Vj 和剥离悬挂边后出现的新接触顶点，重复该过程直到终止或恢复整个图 Γ（不涉及 ∂Γ \ Vj 中的其他原始接触顶点）。以这种方式恢复的最大子图 Dj ⊂ Γ 称为渗透域。MBC 方法不仅能确定度量子图 Dj，还能确定其上的势能 q。需要注意的是，重建的渗透域可能取决于顶点溶解的顺序。

3.2 图的补集

设 Γ1 = (E1, V1) 是度量图 Γ = (E, V) 的子图，则图的补集 Γ \ Γ1 =: Γ2 是一个度量图，其边集 E2 = E \ E1，顶点集 V2 由特定规则确定。补集图由 Γ 中所有不属于 Γ1 的边构成，边之间的连接继承自 Γ。补集图与原始图可能有非平凡的交集，这些交集形成了 Γ1 相对于 Γ 的边界。

3.3 瓶颈顶点

在连通图中，如果溶解某个顶点会使图断开，则该顶点称为瓶颈顶点。瓶颈顶点类似于图中的桥，对于度量图，瓶颈顶点起着与离散图中桥类似的作用。

3.4 渗透域的墙

设 D 是度量图 Γ 中的渗透域，域的墙 Wj 是补集 D 中所有至少有一个端点连接到边界 ∂D（相对于原始图 Γ）的边的并集。每个渗透域都被其墙和瓶颈顶点集与图的其余部分分隔开来。

3.5 渗透域的不同情况

观察渗透域及其墙在有限图 Γ 中的情况，可能出现以下几种可能性：
| 情况 | 描述 | 示例 |
| ---- | ---- | ---- |
| 情况 1 | 渗透域与图 Γ 重合，墙为空 | 图 22.3（上半部分） |
| 情况 2 | 渗透域及其非空墙覆盖图 Γ | 图 22.11 |
| 情况 3 | 渗透域及其非空墙构成图 Γ 的真子图 | 图 22.7 |
| 情况 4 | 渗透域未覆盖图 Γ，但墙为空 | 图 22.6 |

3.6 渗透域关系示例

可以进一步研究两个渗透域及其墙之间的位置关系，如图 22.12 所示，包括具有共同墙、部分共同墙、不相交墙等情况。

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A(选择接触顶点):::process --> B(溶解顶点并剥离悬挂边):::process
    B --> C{是否终止?}:::process
    C -- 是 --> D(得到渗透域):::process
    C -- 否 --> B
    D --> E{渗透域情况判断}:::process
    E -- 情况 1 --> F(渗透域与图重合，墙为空):::process
    E -- 情况 2 --> G(渗透域及其非空墙覆盖图):::process
    E -- 情况 3 --> H(渗透域及其非空墙构成真子图):::process
    E -- 情况 4 --> I(渗透域未覆盖图，墙为空):::process

4. 通过 MBC 方法解决逆问题

4.1 基本思路

解决一般图的逆问题的思路是找到足够数量的接触顶点，使得相应的渗透域覆盖或几乎覆盖原始图。我们将假设骨架（图中未被渗透域覆盖的部分）为空或足够薄。接下来将介绍几个定理，这些定理按照骨架逐渐变厚的顺序排列，每个新定理需要对谱或特征函数提出更强的假设。

4.2 定理 22.12

设 Γ 是有限紧凑无悬挂边、无度为 2 的顶点和环的度量图，Lstq,a 是相应的标准薛定谔算子。假设：
1. 接触集 ∂Γ 的选择使得每个 Vj ∈ ∂Γ 对应的渗透域覆盖原始图 Γ，即所有渗透域的并集等于 Γ，骨架 S 为空。
2. 一个通常满足的假设：狄利克雷特征函数在 Γ 的连通子图上不会在任何边上恒为零。

则与接触集相关且已知所有可能符号（磁通量 Φi = 0, π，i = 1, 2, …, β1）的 M 函数可以确定图 Γ 和势能 q。

4.2.1 证明步骤

• 步骤 1：M 函数与接触点之间的距离
  • 定义动态响应算子 RT 与度量图 Γ 和接触集 ∂Γ 相关。对于任意两个接触顶点 Vi 和 Vj，它们之间的旅行时间 t(Vi, Vj) 定义为：
    [t(V^i, V^j) = \sup {T : R^T_{V^i,V^j} \equiv 0}]
    其中 (R^T_{V^i,V^j}) 表示矩阵算子 RT 中与顶点 Vi 和 Vj 相关的元素。
  • 引理 22.14 表明，在具有标准顶点条件的有限度量图 Γ 上，任意两个接触顶点之间的旅行时间等于它们之间的距离。证明过程考虑了连接两个顶点的路径情况，当路径唯一时，波前的传播类似于在从 Γ 中截取的树上传播；当存在多条最短路径时，响应算子的核包含来自每条最短路径的延迟 δ’ 项，由于标准顶点条件下所有传输系数为正，不同最短路径的贡献不会相互抵消，旅行时间仍然等于距离。
• 步骤 2：渗透域的恢复
  • 从溶解接触顶点 V1 开始，得到具有 d1 = deg V1 个悬挂边的度量图 Γ1。选择一个悬挂顶点，恢复相应边 E1 的长度和势能。通过比较旅行时间和边的长度，可以确定边的连接关系。重复这个过程 d1 次，得到新的图 Γ2。如果 Γ2 包含悬挂顶点，则继续重复该过程，直到得到一个无悬挂边的图。
  • 当有多个接触顶点时，每次剥离悬挂边时，需要将边的长度与到任何接触顶点的距离进行比较，以确定边的连接方式。这个过程会一直进行，直到整个图 Γ 被恢复或所有接触顶点相对于未恢复部分是度为 2 或瓶颈顶点，此时得到的恢复子图就是渗透域 D1。
• 步骤 3：连接不同的渗透域
  • 从不同的接触顶点 V1, …, V|∂Γ| 开始，恢复相应的渗透域 Dj。在恢复渗透域的过程中，需要考虑不同渗透域可能有共同顶点的情况。每次剥离悬挂边时，不仅要将边的长度与已恢复顶点的距离进行比较，还要与所有原始接触顶点的距离进行比较。如果长度和距离相等，则将悬挂边连接的顶点与已知的接触顶点进行标识。当所有渗透域都确定并且知道它们的连接方式时，图 Γ 就可以完全恢复。

4.3 定理 22.15

设 Γ 是有限紧凑无悬挂边、无度为 2 的顶点和环的度量图，Lstq,a 是相应的标准薛定谔算子。假设：
1. 接触集 ∂Γ 包含顶点 Vj，使得对应于 ∂Γ 中顶点的渗透域的并集包含原始图 Γ 的所有顶点。
2. 两个通常满足的假设：
- 狄利克雷特征函数在 Γ 的连通子图上不会在任何边上恒为零。
- 构成骨架的边的狄利克雷算子的谱是不相交的。

则与接触集 ∂Γ 相关且已知所有可能符号（磁通量 Φi = 0, π，i = 1, 2, …, β1）的 M 函数可以确定图 Γ 和势能 q。

4.3.1 证明过程

假设接触集 ∂Γ 固定，满足定理的所有假设。重复定理 22.12 的证明过程，可以恢复所有渗透域（包括其上的势能）及其连接方式。接下来需要确定骨架 S 和其上的势能。移除所有渗透域后，可以得到与骨架接触顶点相关的 M 函数，这些接触顶点同时也是某个渗透域的边界顶点。
在一般情况下，将骨架中的可能多重边视为连接两个顶点的西瓜图。狄利克雷特征值在边上给出骨架 M 函数的奇点，每个特征函数确定恰好两个奇点。通过这种方式可以得到每个西瓜图的狄利克雷谱。M 函数可以确定到常数矩阵 Aj，通过检查 M 函数对磁通量的依赖性，可以确定西瓜图中顶点的度数，进而得到矩阵 Aj 并完成重构。如果没有平行边，已知单个区间的 M 函数可以确定其长度和势能。对于西瓜图，当边数至少为三时，移除一个接触顶点，溶解剩余顶点可以得到星图的 M 函数，从而确定边的长度和势能，完成骨架的恢复。

4.4 定理 22.16

设 Γ 是有限紧凑无悬挂边、无度为 2 的顶点和环的度量图，Lstq,a 是相应的标准薛定谔算子。假设：
1. 接触集 ∂Γ 的选择使得对应于 ∂Γ 中顶点的渗透域及其墙的并集覆盖原始图 Γ。
2. 骨架中不包含离散长度小于或等于 4 的环。
3. 两个通常满足的假设：
- 狄利克雷特征函数在 Γ 的连通子图上不会在任何边上恒为零。
- 构成骨架的星图的狄利克雷算子的谱是不相交的。

则与接触集 ∂Γ 相关且已知所有可能符号（磁通量 Φi = 0, π，i = 1, 2, …, β1）的 M 函数可以确定图 Γ 和势能 q。

4.4.1 证明步骤

• 步骤 1：证明骨架由星图组成
  考虑骨架接触集的公式，骨架中的每条边至少有一个端点在某个渗透域的边界上，这个端点必须是骨架接触顶点。在骨架接触点引入狄利克雷条件，可以将骨架分解为一组星图和单个边（视为星图）。
• 步骤 2：检查定理 21.7 的条件
  • 接触顶点将骨架拆解为一组星图（最简单的树）。
  • 所有顶点假设为标准顶点条件（一种特殊形式的 δ 耦合）。
  • 骨架中禁止离散长度为 2 的环，因此没有星图有两个来自同一接触顶点的悬挂顶点。
  • 骨架中禁止离散长度为 2、3 和 4 的环，因此没有两个星图有多于一个的公共顶点。
  • 假设构成骨架的星图的狄利克雷算子的谱是不相交的。

由于所有条件都满足定理 21.7，相应的 M 函数可以确定骨架和其上的势能，从而完成图 Γ 和势能 q 的重构。

4.5 定理假设的弱化

对定理 22.15 和 22.16 中的假设可以进行适当弱化，而不改变证明的本质。例如，对于假设 (a)，可以假设特征函数在每个被溶解顶点处至少有三个法向导数非零，这等价于特征函数在从每个溶解顶点发出的至少三条边上非零。对于假设 (b)，可以假设狄利克雷算子的谱不相交，只要相应的边是相邻的或被单个边隔开，即可以允许骨架中远处的边的狄利克雷算子有共同的特征值。

4.6 可重构图的套娃型结构

由上述三个定理描述的图并不能涵盖所有通过 MBC 方法可重构的图。可以通过一种类似于俄罗斯套娃的归纳过程来描述可重构图的家族。假设已经确定了一个可重构对的家族 F0，例如由定理 22.16 给出的家族。那么可以重构所有骨架属于原始家族 F0 的对，得到新的家族 F1，重复这个过程可以得到家族 F2, F3, …。

并非所有的对都是可重构的，瓶颈和度为 2 的顶点会使某些图无法以相同的方式重构，就像它们会阻止渗透域进一步扩展一样。例如，所有具有度为三及以上的瓶颈且接触集位于瓶颈一侧的图是不可重构的；图 22.14 中通过度为 2 的顶点连接的子图无法被重构。

可重构对的家族 F = ∪nFn 具有一定的单调性：增加接触集，对仍然属于该家族；但固定接触集并缩小度量图不一定能保证可构造性。

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A(选择接触集):::process --> B{骨架情况}:::process
    B -- 骨架为空 --> C(应用定理 22.12):::process
    B -- 骨架非空但最小 --> D(应用定理 22.15):::process
    B -- 骨架更大 --> E(应用定理 22.16):::process
    C --> F(确定图和势能):::process
    D --> F
    E --> F
    F --> G{是否可重构}:::process
    G -- 是 --> H(属于可重构家族):::process
    G -- 否 --> I(不属于可重构家族):::process

综上所述，MBC 方法为解决复杂图的逆问题提供了一种有效的途径，但在实际应用中需要考虑各种因素，如瓶颈和度为 2 的顶点的影响，以及合理选择接触顶点以确保图的可重构性。通过对定理假设的适当弱化和对可重构图家族的归纳描述，可以进一步拓展该方法的应用范围。

5. 可重构图家族的性质与拓展

5.1 可重构图家族的单调性

可重构图的家族 (F = \cup_{n}F_{n}) 具有独特的单调性。具体表现如下：
- 增加接触集 ：若 ((\Gamma, \partial\Gamma) \in F) 且 (\partial\Gamma \subset \partial’\Gamma)，则 ((\Gamma, \partial’\Gamma) \in F)。这意味着当我们增加图的接触集时，该图对仍然属于可重构图的家族。例如，原本一个图在特定接触集下可重构，当我们扩大接触集后，它依然能够被重构。
- 缩小度量图 ：然而，固定接触集并缩小度量图不一定能保证可构造性。即若 ((\Gamma, \partial\Gamma) \in F) 且 (\Gamma’ \subset \Gamma)，并不一定能推出 ((\Gamma’, \partial\Gamma) \in F)。就像图 22.3 和图 22.4 的例子，图 22.4 是由图 22.3 移除两条边得到的，但图 22.4 可能就不再属于可重构图的家族了。

5.2 可重构图家族的拓展探讨

虽然我们已经通过归纳过程得到了可重构图的家族 (F)，但仍有一些问题值得探讨。例如，对于定理 22.16 中的假设 (2)，即骨架中不包含离散长度小于或等于 4 的环，我们可以尝试对其进行弱化。在重建骨架时，我们尚未利用与骨架相关的 M 函数对磁通量的依赖性。因此，我们可以允许存在平行边和平行星，这为可重构图家族的进一步拓展提供了方向。

另外，对于顶点条件，我们可以假设骨架内部顶点的顶点条件为广义 (\delta) 耦合，这是定理 21.7 所要求的。这样的假设可以在一定程度上放宽对图结构的限制，使得更多的图有可能被重构。

5.3 不可重构图的示例分析

为了更清楚地理解可重构图和不可重构图的区别，我们来看一些不可重构图的示例：
| 示例类型 | 描述 | 图示 |
| ---- | ---- | ---- |
| 含高阶瓶颈图 | 所有具有度为三及以上的瓶颈且接触集位于瓶颈一侧的图是不可重构的。因为瓶颈的存在使得图的连通性受到限制，当接触集只在瓶颈的一侧时，无法获取足够的信息来重构整个图。 | 图 22.6 |
| 度为 2 顶点连接子图 | 如图 22.14 所示，子图 (\Gamma_0) 通过度为 2 的顶点与其余部分连接，这样的结构导致该子图无法被重构。即使添加更多的外围顶点，也无法解决这个问题。 | 图 22.14 |

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A(可重构图家族 F):::process --> B{增加接触集}:::process
    B -- 是 --> C(仍属于 F):::process
    B -- 否 --> D{缩小度量图}:::process
    D -- 是 --> E{是否可重构}:::process
    E -- 是 --> C
    E -- 否 --> F(不属于 F):::process
    D -- 否 --> C

6. MBC 方法的总结与展望

6.1 MBC 方法的优势

MBC 方法在解决复杂图的逆问题中具有显著的优势。通过溶解顶点和处理渗透域，它能够有效地对图的结构和势能进行重建。对于具有多个循环和少量接触点的复杂图，MBC 方法也能发挥作用，如示例 22.3 所示，我们可以通过不同的顶点溶解顺序来解决图的逆问题。

6.2 MBC 方法的局限性

然而，MBC 方法也存在一定的局限性。瓶颈和度为 2 的顶点是限制该方法应用的主要因素。当图中存在这些特殊结构时，可能会导致重建过程终止，无法完成整个图的重构，如示例 22.4 和 22.5 所示。

6.3 未来研究方向

为了进一步拓展 MBC 方法的应用范围，我们可以从以下几个方面进行研究：
- 假设的弱化 ：继续对定理中的假设进行弱化，如对谱和特征函数的假设，使得更多的图能够满足可重构的条件。
- 顶点条件的拓展 ：探索更宽松的顶点条件，如广义 (\delta) 耦合，以适应更多不同结构的图。
- 可重构图家族的拓展 ：通过对可重构图家族的归纳描述，不断尝试拓展家族的范围，找到更多可重构的图。

6.4 操作建议

如果要应用 MBC 方法来解决图的逆问题，可以按照以下步骤进行：
1. 选择接触集 ：根据图的结构和特点，合理选择接触集，使得渗透域能够尽可能地覆盖原始图。
2. 判断骨架情况 ：根据骨架的情况（为空、非空但最小、更大），选择合适的定理（定理 22.12、定理 22.15、定理 22.16）来进行图的重构。
3. 进行图的重构 ：按照定理中的证明步骤，逐步恢复渗透域、确定骨架和势能，最终完成图的重构。
4. 检查可重构性 ：在重构过程中，检查图是否满足可重构的条件。如果遇到瓶颈和度为 2 的顶点等特殊情况，需要考虑是否可以通过调整接触集或弱化假设来解决问题。

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A(应用 MBC 方法):::process --> B(选择接触集):::process
    B --> C(判断骨架情况):::process
    C --> D(选择合适定理):::process
    D --> E(进行图的重构):::process
    E --> F(检查可重构性):::process
    F -- 可重构 --> G(完成重构):::process
    F -- 不可重构 --> H(调整接触集或假设):::process
    H --> B

总之，MBC 方法为解决复杂图的逆问题提供了一种有效的途径，但在实际应用中需要充分考虑其优势和局限性，并不断探索拓展其应用范围的方法。通过合理的操作步骤和对问题的深入分析，我们可以更好地利用 MBC 方法来解决各种图的逆问题。