75、图拆解：依赖子树的逆问题求解

图拆解：依赖子树的逆问题求解

1. 基本概念与定义

在图论与量子力学相关的研究中，我们常常会遇到将图拆解为子树来解决逆问题的情况。这里涉及到一些重要的定义和条件。

首先，有如下等式：
$P_{\psi_n^{D,j}} := \langle \partial \psi_n^{D,j}| {\partial \Gamma}, \cdot \rangle {C^B} \partial \psi_n^{D,j}|_{\partial \Gamma}$
并且满足条件：
$A^1 + A^2 + A^3 = M(\lambda’)$
其中，$\psi_n^{D,j}$ 表示每个边上的 Dirichlet - Dirichlet 算子的归一化特征函数，并通过零扩展到其余两条边上。矩阵 $A^j$ 可以根据渐近公式（21.1）唯一确定，这有助于完成 $M^j(\lambda)$ 的重构，进而确定边的长度和势函数 $q$。

对于具有一个循环（$\beta_1 = 1$）且由 $N^{cycle}$ 条边构成的有限度量图 $\Gamma$，非空接触集 $\partial \Gamma$ 包含所有一度顶点。在满足一定假设条件下，逆问题有不同的唯一解情况：
| $N^{cycle}$ 的值 | 确定图和势函数的条件 |
| ---- | ---- |
| $N^{cycle} = 1$（循环为环） | $M(\lambda, 0)$ 和 $M(\lambda, \pi)$ 以及无限序列的符号 $\nu_j$ 通常可以确定度量图和势函数 |
| $N^{cycle} = 2$ | $M(\lambda, 0)$ 和 $M(\lambda, \pi)$ 可以确定度量图和势函数 |
| $N^{cycle} \geq 3$ | $M(\lambda, 0)$ 单独就可以确定度量图和势函数 |

额外的接触点只会增加矩阵 $M$ 的大小，通常可以假设 $\partial \Gamma$ 仅包含所有一度顶点（单环情况除外）。可以发现，$N$ 越大，恢复势函数越容易，因为增加循环上的接触点数量可以获得关于算子更多的信息。

2. 依赖子树的逆问题

在将图拆解为树来解决逆问题时，通常不考虑磁通量的依赖关系。然而，如两条边的循环图示例所示，磁场可能有助于解决子树 $T_j$ 相互依赖时的逆问题。

为了简化描述，我们假设子树不平行。定义如下：
如果 $\partial T_j \subset \partial T_i$ 或者 $\partial T_i \subset \partial T_j$，则称两个子树 $T_j$ 和 $T_i$ 是平行的。也就是说，若一个子树的边界包含在另一个子树的边界内，则这两个子树平行。不过，假设子树不平行只是为了简化表述，并非必要条件。

有如下定理：
设 $L_{q,a}^{st}(\Gamma)$ 是无悬挂顶点的度量图 $\Gamma$ 上的标准磁 Schrödinger 算子，选定非空接触集 $\partial \Gamma$ 将图拆解为一组树 ${T_j}$，满足：
1. 没有子树 $T_j$ 有两个来自图 $\Gamma$ 中同一顶点的悬挂顶点。
2. 没有两个子树是平行的，即不存在 $\partial T_i$ 是另一个 $\partial T_j$（$j \neq i$）的子集。
此外，还需满足一个通常成立的假设：
子树 $T_j$ 上的 Schrödinger 算子在悬挂顶点处满足 Dirichlet 条件，在所有内部顶点处继承 $L_{q,a}(\Gamma)$ 的顶点条件，其谱 $\Sigma(T_j) = {\lambda_n^D(T_j)}$ 是不相交的，即 $\lambda_n^D(T_j) \neq \lambda_m^D(T_i)$（$j \neq i$）。
设 $\Phi_i$ 是与图 $\Gamma$ 中的环相关的磁通量，那么与接触顶点相关且已知 $\Phi_i = 0, \pi$ 的 $M$ 函数 $M(\lambda, \Phi_i)$ 可以唯一确定度量图、势函数 $q$ 以及非接触顶点处的条件。

3. 定理证明思路

我们将修改定理 21.6 的证明方法。
1. 确定子树边界 ：
- 所有子树上的 Dirichlet 特征值都可以看作是图 $\Gamma$ 的 $M$ 函数的奇点，公式（21.7）成立。
- 第一步是确定子集 $\partial T_j \subset \partial \Gamma$。对于每个 $V^m \in \partial \Gamma$，$M(\lambda)$ 可以确定 $V^m$ 所属子树的数量。将 $\partial \Gamma$ 视为一个多重集，每个接触顶点的重数等于其度数 $d_m$。
- 对于每个 $\lambda_n^D(\Gamma)$，关联一个集合 $B_n \subset \partial \Gamma$，该集合由对应特征函数在接触顶点处导数不为零的顶点组成，即 $B_n := {V^m \in \partial \Gamma : \partial \psi_n^D(V^m) \neq 0}$。这些集合可以通过检查 $M(\lambda)$ 的对角元素并选择在 $\lambda_n^D(\Gamma)$ 处奇异的元素来确定。每个 $\partial T_j$ 与子树 $T_j$ 上基态对应的集合 $B_n$ 重合，因为基态特征函数在对应子树的所有边界点处导数不为零。
- 具体过程如下：
- 显然 $B_1$ 是某个子树的接触集，记为 $\partial T_1$。
- 考虑具有最小索引 $n$ 且 $B_n \not\subset B_1$ 的 $B_n$，记 $\partial T_2 = B_n$。
- 以此类推，假设已经确定了前几个子集 $\partial T_j$（$j \in J$），则新的子集 $\partial T_i$（$j \notin J$）可以选择为具有最低索引 $n$ 且 $B_n \not\subset \partial T_j$（$j \in J$）的集合 $B_n$。假设条件（2）保证了所有子树的边界都能以这种方式确定。当 $\bigcup_{j \in J} \partial T_j$ 和 $\partial \Gamma$ 作为多重集重合时，该过程终止。
2. 分离特征值 ：
- 除了确定子树的接触集，还确定了每个子树的基态能量 $\lambda_1^D(T_j)$。接下来，将特征值 $\lambda_n^D(\Gamma)$ 分离到子集 $\Sigma(T_j) := {\lambda_m^D(T_j)} {m = 1}^{\infty}$ 中。如果只有一个集合 $\partial T {j_0}$ 包含 $B_n$，则对应的特征值属于 $\Sigma(T_{j_0})$。
- 对于 $B_n$ 同时属于多个集合 $\partial T_j$ 的情况，$M$ 函数对磁通量 $\Phi_j$ 的依赖关系将帮助我们进行分离。只有通过 $B_n$ 的环的磁通量才是相关的，但我们事先并不知道哪些磁通量对应这样的环。
- 假设顶点 $V^1$ 和 $V^2$ 属于 $B_n$，记 $J_0$ 为可能在 $B_n$ 上具有非零法向导数的特征函数的树的集合，即 $j \in J_0 \Leftrightarrow B_n \subset \partial T_j$。记 $M_{12}$ 为与顶点 $V^1$ 和 $V^2$ 相关的 $M$ 的非对角元素。该元素在 $\lambda_n^D(\Gamma)$ 和所有可能的子树基态 $\lambda_1^D(T_j)$（$j \in J_0$）处有奇点，其留数等于特征函数在 $V^1$ 和 $V^2$ 处的法向导数的乘积。留数的绝对值不为零且与磁通量 $\Phi_i$ 无关，而相位取决于一些磁通量。对于与同一子树相关的所有特征函数，导数对磁通量的依赖关系相同，因此对应的留数对磁通量的依赖方式也相同。通过比较留数与子树基态的留数，可以确定留数与哪个特定子树 $T_j$ 相关。对于所有磁通量 $\Phi_i$ 满足以下等式的唯一 $j_0$ 被选中：
$\lim_{\lambda \to \lambda_n^D(\Gamma)} \frac{M_{12}(\lambda, \vec{\Phi})}{M_{12}(\lambda, \vec{0})} = \lim_{\lambda \to \lambda_1^D(T_{j_0})} \frac{M_{12}(\lambda, \vec{\Phi})}{M_{12}(\lambda, \vec{0})}$
- 重复这个过程，将 ${\lambda_n^D(\Gamma)}$ 划分为不相交的子集 $\Sigma(T_j)$。然后可以按照（21.8）重构每个 $M_j(\lambda)$ 的奇异部分，通过渐近式（21.10）确定表示中出现的常数矩阵 $A_j$。
- 子树和其上的势函数由 $M_j(\lambda)$ 唯一确定，从而给出了图 $\Gamma$ 上 Schrödinger 算子逆问题的完整解。这里使用了子树 $T_j$ 内部顶点处的顶点条件是标准的这一条件。

4. 示例说明

假设图 $\Gamma$ 被拆解为两个子树 $T_1$ 和 $T_2$，图 $\Gamma$ 的 $M$ 函数等于部分 $M$ 函数 $M_j(\lambda) \equiv M_{T_j}(\lambda)$ 的和：
$M_{\Gamma}(\lambda) = M_1(\lambda) + M_2(\lambda)$
记 $B = \partial T_1 \cap \partial T_2$ 为子树的公共接触点集合。对 $\partial \Gamma$ 的接触点进行排序，使得 $\partial T_1 \setminus B$ 中的所有接触点排在前面，接着是 $B$ 中的点，最后是 $\partial T_2 \setminus B$ 中的点。使用这种排序，公式（23.39）可以用图 23.7 说明。

对于任何奇异点 $\lambda_n^D(\Gamma)$，由于假设 $T_1$ 和 $T_2$ 的谱不相交，这个特定的 $\lambda$ 可能只是其中一个部分 $M$ 函数的奇异点，有三种可能情况，如图 23.8 所示：
- 情况一：特征值应归因于 $T_1$。
- 情况二：特征值应归因于 $T_2$。
- 情况三：不清楚特征值属于 $\Sigma(T_1)$ 还是 $\Sigma(T_2)$。如果子树是独立的（或只有一个公共顶点），这种情况不会出现，在定理 21.6 的证明中被忽略。但在证明定理 23.6 时，MBC 方法可以帮助分配特征值。

5. 定理假设的弱化

可以通过弱化定理 23.6 的假设来加强结果：
1. 如果允许内部顶点处有广义 delta 耦合（见 3.7 节），同样的证明仍然成立。这样的条件保证了：
- 子树 $T_j$ 上的基态函数在接触点处的法向导数不为零。
- 子树的逆问题是唯一可解的。
2. 可以允许原始图中距离较远的子树的谱有共同的特征值，这不会影响重构过程。这类似于从图拉普拉斯算子的谱重构图的方法。

通过以上的研究和分析，我们可以更深入地理解如何利用磁通量和子树的性质来解决图上 Schrödinger 算子的逆问题，为相关领域的研究提供了重要的理论基础和方法指导。

graph TD;
    A[开始] --> B[确定子树边界];
    B --> C[分离特征值];
    C --> D[重构M函数奇异部分];
    D --> E[确定子树和势函数];
    E --> F[结束];

这个流程图展示了证明定理 23.6 的主要步骤，从确定子树边界开始，逐步进行特征值分离、$M$ 函数奇异部分的重构，最终确定子树和势函数，完成逆问题的求解。

图拆解：依赖子树的逆问题求解

6. 子树平行情况的处理

在前面的讨论中，为了简化表述假设子树不平行，但实际上即使子树平行，逆问题仍然可以解决。根据引理 21.1，在每个特征值处，至少有两个法向导数不为零，因此 $M$ 矩阵至少有两个对角元素是奇异的。

在证明定理 23.6 时，当子树平行时，不能忽略上述提到的第三种情况（即不清楚特征值属于哪个子树的情况）。不过，MBC 方法可以帮助我们分配特征值。虽然可以添加每个特征函数在 $B$ 之外有非零法向导数的假设来避免使用 MBC 方法，但这样会使定理的表述变得繁琐。

7. 总结与展望

通过上述研究，我们解决了子树不一定独立情况下的逆问题。主要成果如下表所示：
| 条件 | 结论 |
| ---- | ---- |
| 满足定理 23.6 的假设条件 | $M(\lambda, \Phi_i)$（$\Phi_i = 0, \pi$）唯一确定度量图、势函数 $q$ 以及非接触顶点处的条件 |
| 允许内部顶点有广义 delta 耦合 | 同样可完成逆问题求解，保证基态函数法向导数不为零且子树逆问题唯一可解 |
| 允许距离远的子树谱有共同特征值 | 不影响重构过程 |

未来的研究可以进一步探索以下方向：
- 考虑更复杂的图结构，如具有多个循环的图，研究如何将本文的方法扩展到这些情况。
- 研究在不同的顶点条件下，逆问题的求解方法和结果的唯一性。
- 探索如何利用更多的物理量（如电流、能量等）来解决逆问题，提高求解的准确性和效率。

graph LR;
    A[当前研究] --> B[扩展到多循环图];
    A --> C[不同顶点条件研究];
    A --> D[利用更多物理量];

这个流程图展示了未来研究的几个可能方向，从当前的研究出发，可以向更复杂的图结构、不同的顶点条件以及利用更多物理量等方向进行拓展。

8. 实际应用思考

在实际应用中，图的逆问题求解有着广泛的应用场景，例如在量子物理、电路分析、生物网络等领域。
- 量子物理 ：在量子系统的研究中，通过测量某些物理量（如散射矩阵、能量谱等）来推断系统的结构和参数，这可以看作是一个逆问题。本文的方法可以帮助确定量子图的结构和势函数，从而更好地理解量子系统的行为。
- 电路分析 ：在电路设计和故障诊断中，我们可能只知道电路的某些输入输出特性，需要通过这些信息来推断电路的拓扑结构和元件参数。将电路看作一个图，本文的方法可以用于解决这类逆问题。
- 生物网络 ：生物网络（如蛋白质相互作用网络、基因调控网络等）的结构和功能研究中，逆问题求解可以帮助我们从实验数据中推断网络的拓扑结构和相互作用强度。

为了在实际应用中更好地使用本文的方法，我们可以按照以下步骤进行：
1. 数据收集 ：收集与图相关的物理量数据，如 $M$ 函数、特征值等。
2. 图拆解 ：将图拆解为子树，确定接触集 $\partial \Gamma$。
3. 条件检查 ：检查是否满足定理的假设条件，如子树谱不相交等。
4. 特征值分离 ：利用 $M$ 函数对磁通量的依赖关系，将特征值分离到各个子树的谱中。
5. 重构子树 ：根据分离后的特征值和 $M$ 函数，重构子树和其上的势函数。
6. 验证结果 ：将重构的图和势函数代入原始问题，验证结果的正确性。

通过以上步骤，我们可以将理论方法应用到实际问题中，解决各种图的逆问题。

9. 关键要点回顾

为了更好地理解和应用本文的内容，我们对关键要点进行回顾：
- 基本定义 ：明确了子树平行的定义，以及相关的 $M$ 函数、特征值等概念。
- 定理条件 ：定理 23.6 给出了子树不一定独立情况下逆问题唯一可解的条件，包括子树谱不相交、无平行子树等。
- 证明方法 ：通过修改定理 21.6 的证明方法，确定子树边界、分离特征值、重构 $M$ 函数的奇异部分，最终解决逆问题。
- 特殊情况处理 ：讨论了子树平行情况的处理方法，以及定理假设的弱化情况。
- 实际应用 ：介绍了图逆问题在量子物理、电路分析、生物网络等领域的应用，并给出了实际应用的步骤。

这些关键要点是解决图逆问题的核心，掌握这些要点可以帮助我们更好地理解和应用相关理论和方法。

graph TD;
    A[数据收集] --> B[图拆解];
    B --> C[条件检查];
    C --> D[特征值分离];
    D --> E[重构子树];
    E --> F[验证结果];

这个流程图展示了将理论方法应用到实际问题的步骤，从数据收集开始，经过图拆解、条件检查、特征值分离、子树重构，最后验证结果，形成一个完整的应用流程。