70、磁边界控制 I：具有多个循环的图

元编程奶

于 2025-09-23 14:01:18 发布

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分类专栏：图的谱几何：连接数学与现实文章标签：磁边界控制 MBC方法度量图

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磁边界控制 I：具有多个循环的图

1. 磁边界控制方法概述

磁边界控制方法（MBC - 方法）可有效应用于具有多个独立循环的图。对于只有一个循环的图，可能需要特殊处理。该方法的核心思想是：利用 M 函数对磁通量的依赖关系，恢复同一组边上但部分循环被打开的图的 M 函数。从某种意义上说，新图比原始图更接近树。

例如，考虑一个任意图 $\Gamma$ 和一个度 $d_0 \geq 3$ 的接触顶点 $V^0$。将顶点 $V^0$ 拆分为 $d_0$ 个度为 1 的顶点，得到新的度量图 $\Gamma’$，我们称顶点 $V^0$ 被溶解。已知图 $\Gamma$ 在不同磁通量值下的 M 函数，就可以确定图 $\Gamma’$ 的 M 函数。然后使用经典的 BC 方法恢复图 $\Gamma’$ 中悬挂边上的势。通过剥离这些边，可将逆问题简化为一个更小的图。对于某些图，重复此过程可将逆问题简化为树上的逆问题，从而完全解决；而对于其他图，该过程可能终止，导致图的大部分信息未知。

2. 溶解顶点

2.1 溶解顶点的定义

若满足以下条件，则称度量图 $\Gamma_1$ 是由度量图 $\Gamma$ 通过溶解 $\Gamma$ 中的某个顶点 $V^0$ 得到的：
- $\Gamma$ 和 $\Gamma_1$ 共享相同的边集 ${E_n}_{n = 1}^{N}$。
- $\Gamma$ 中连接在 $V^0$ 处的端点在 $\Gamma_1$ 中形成度为 1 的顶点。
- $\Gamma$ 和 $\Gamma_1$ 中的其他顶点重合。

排除溶解 $V^0$ 会使原始图断开的情况。此时，原始图 $\Gamma$ 和新图 $\Gamma_1$ 中的循环数量相差 $d_0 - 1$，即：
$\beta_1(\Gamma) = N + 1 - M$；
$\beta_1(\Gamma_1) = N_1 + 1 - M_1$（其中 $N_1 = N$，$M_1 = M + d_0 - 1$）；
$\Rightarrow \beta_1(\Gamma) - \beta_1(\Gamma_1) = d_0 - 1$。

这意味着溶解 $V^0$ 恰好打破原始图中的 $d_0 - 1$ 个循环，且该数量与顶点 $V^0$ 在图中的位置无关。

2.2 M 函数的比较

我们的目标是比较对应于 $\Gamma$ 和 $\Gamma_1$ 的 M 函数 $M(\lambda) := M_{\Gamma}(\lambda)$ 和 $M_1(\lambda) := M_{\Gamma_1}(\lambda)$。这些函数不仅依赖于谱参数 $\lambda$，还依赖于磁通量。用 $\vec{\Phi}$ 和 $\vec{\Phi}^1$ 分别表示 $\Gamma$ 和 $\Gamma_1$ 的所有磁通量向量。$\Gamma_1$ 中的每个循环对应于 $\Gamma$ 中的某个循环，因此自然假设 $\vec{\Phi}^1$ 中的元素对应于 $\vec{\Phi}$ 中的 $\beta_1(\Gamma_1)$ 个元素。$\vec{\Phi}$ 中剩余的 $\beta_1(\Gamma) - \beta_1(\Gamma_1) = d_0 - 1$ 个元素对应于溶解 $V^0$ 时打破的循环，记这些磁通量为 $\vec{\Phi}^2$，则 $\vec{\Phi} = (\vec{\Phi}^1, \vec{\Phi}^2)$。

从现在起，假设通过保留循环的磁通量 $\vec{\Phi}^1$ 是固定的，并省略 M 函数对 $\vec{\Phi}^1$ 的依赖表示。

用 $V^1, \cdots, V^{d_0}$ 表示 $\Gamma_1$ 中来自 $\Gamma$ 中顶点 $V^0$ 的悬挂顶点，$C_j$ 表示连接 $V^{d_0}$ 到 $V^j$（$j = 1, 2, \cdots, d_0 - 1$）的路径。这些路径对应于溶解时打破的 $\Gamma$ 中的循环，相应的磁通量为：
$\Phi_j = \int_{C_j} a(y)dy = \int_{V^{d_0}}^{V^j} a(y)dy$，$j = 1, 2, \cdots, d_0 - 1$。

这些磁通量形成向量 $\vec{\Phi}^2$，可将 $\vec{\Phi}^2$ 视为 $\mathbb{R}^{d_0}$ 中的元素，尽管只有 $d_0 - 1$ 个坐标可能非零，即 $\vec{\Phi}^2 = (\Phi_1, \Phi_2, \cdots, \Phi_{d_0 - 1}, 0)$。

为了重建 $\Gamma_1$ 的 M 函数，只需考虑磁通量等于 0 和 $\pi$ 的情况。引入记号：
$\mu_j := e^{i\Phi_j}$，$j = 1, 2, \cdots, d_0$；
$\mu = (\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_{d_0}) = e^{i\vec{\Phi}}$。

考虑依赖于指标 $\mu_j$ 而非相位 $\Phi_j$ 的 M 函数。为了获得相应的谱数据，只需考虑具有零磁势和在某些循环上引入的额外符号条件（3.43）的标准算子，这些算子记为 $L_{q}^{sign}(\Gamma)$，称为带符号的薛定谔算子。

2.3 建立关系

首先建立与顶点 $V^0$ 相关的对角元素 $M^{00}(\lambda, \mu) := \mathbb{M}(\lambda, \mu)$ 与 $\Gamma_1$ 中来自 $V^0$ 的度为 1 的顶点相关的 $d_0 \times d_0$ 对角块 $M_1(\lambda, \mu)$ 之间的关系。

$M_1(\lambda, \vec{\Phi}^2) = diag{\mu_j} M_1(\lambda, 1) diag{\mu_j}^{-1}$，其中 $1 = (1, 1, \cdots, 1)$。

对角元素 $\mathbb{M}(\lambda, \mu)$ 等于 $M_1(\lambda, \mu)$ 中所有元素的和：
$\mathbb{M}(\lambda, \mu) = \sum_{i,j = 1}^{d_0} \mu_i\mu_j M_{ij}^1(\lambda, 1)$。

这个公式通过 $\Gamma_1$ 的 M 函数确定了图 $\Gamma$ 上任何带符号算子的 M 函数。

2.4 重构 M 函数

从 $\mathbb{M}$ 重构 $M_1$ 的关键思想是使用公式（17.37），该公式通过狄利克雷特征函数的法向导数来表示这两个赫尔格洛茨 - 内万林纳函数。狄利克雷特征函数在 $\Gamma$ 中满足顶点 $V^0$ 的狄利克雷条件，在 $\Gamma_1$ 中满足顶点 $V^1, \cdots, V^{d_0}$ 的狄利克雷条件，由于狄利克雷条件不区分悬挂顶点是否粘合在一起，所以这些特征函数是相同的。

设 $\psi_n^D$ 表示对应于打破循环的零磁通量的特征函数，这些特征函数可以选择为实值。非零磁通量下狄利克雷特征函数的法向导数为 $\mu_j \partial\psi_n^D(V^j)$，特别地，顶点 $V^0$ 处的法向导数为 $\sum_{j = 1}^{d_0} \mu_j \partial\psi_n^D(V^j)$。

$\mathbb{M}(\lambda, \mu)$ 的奇点形式为：
$\mathbb{M}(\lambda, \mu) \sim_{\lambda \to \lambda_n^D} \frac{1}{\lambda_n^D - \lambda} \sum_{i,j = 1}^{d_0} \mu_i\mu_j \partial\psi_n^D(V^i) \partial\psi_n^D(V^j)$
$= \frac{1}{\lambda_n^D - \lambda} \left[ \sum_{i = 1}^{d_0} (\partial\psi_n^D(V^i))^2 + \sum_{i,j = 1, i \neq j}^{d_0} \mu_i\mu_j \partial\psi_n^D(V^i) \partial\psi_n^D(V^j) \right]$

引入记号 $a_j := \partial\psi_n^D(V^j)$，我们面临以下问题：
- 若已知 $(\pm a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_{d_0 - 1} + a_{d_0})^2$ 对于所有可能的符号组合的值，确定 $a_j$。

显然，这种重构只能精确到所有 $a_j$ 乘以 -1，这对应于相应特征函数乘以 -1。

通过对所有可能的符号进行平均可得到平方和：
$\sum_{i = 1}^{d_0} a_j^2 = \frac{1}{2^{d_0 - 1}} \sum_{\mu \in ({1, -1}^{d_0 - 1}, 1)} (\mu_1 a_1 + \mu_2 a_2 + \cdots + \mu_{d_0 - 1} a_{d_0 - 1} + a_{d_0})^2$

进而可以确定以下组合：
$\sum_{i,j = 1, i \neq j}^{d_0} \mu_i\mu_j a_i a_j = \left( \sum_{i = 1}^{d_0} \mu_i a_i \right)^2 - \sum_{i = 1}^{d_0} a_j^2$

通过再次平均恢复乘积：
$a_k a_l = \frac{1}{2^{d_0 - 1}} \sum_{\mu \in ({1, -1}^{d_0 - 1}, 1), \mu_k = \mu_l} \left( \sum_{i,j = 1, i \neq j}^{d_0} \mu_i\mu_j a_i a_j \right)$，$k \neq l$

如果至少三个系数非零，则平方 $a_j^2$ 可确定为：
$a_i^2 = \frac{(a_i a_j) (a_i a_l)}{(a_j a_l)}$，前提是 $a_j, a_l \neq 0$

我们可以恢复一个非零的 $a_j$ 到一个符号，然后根据乘积 $a_j a_i$ 确定所有其他非零系数。因此，如果已知 $\left( \sum_{j = 1}^{d_0} \mu_j a_j \right)^2$ 对于所有形式为 $\mu \in ({1, -1}^{d_0 - 1}, 1)$ 的 $\mu$ 的值，则系数 $a_j$ 可确定到一个共同的符号。

由此可知，已知对于所有 $\mu \in ({1, -1}^{d_0 - 1}, 1)$ 的对角元素 $\mathbb{M}(\lambda, \mu)$，可以确定向量 $\partial\vec{\psi} n^D^2 = (\partial\psi_n^D(V^1), \partial\psi_n^D(V^2), \cdots, \partial\psi_n^D(V^{d_0}))$ 到一个共同的符号，从而确定 $M_1(\lambda, \vec{0})$ 的奇异部分，进而可以重构 $M_1(\lambda, \vec{0})$ 到一个常数矩阵 $\mathbb{A}$：
$M_1(\lambda, \vec{0}) = \mathbb{A} + \sum {\lambda_n^D(\Gamma_1)} \frac{\lambda - \lambda’}{(\lambda_n^D - \lambda)(\lambda_n^D - \lambda’)} \langle \vec{\psi}_n^D^2, \cdot \rangle \partial\vec{\psi}_n^D^2$

为了确定 $\mathbb{A}$，我们利用 M 函数的渐近性质：
$M_1(-s^2, \vec{0}) = -s I_{d_0} + o(1)$，$s \to \infty$

3. 主要定理及证明

定理 22.2 ：设 $\Gamma$ 是一个无悬挂边的度量图，其接触集包含顶点 $V^0$，$\Gamma_1$ 是由 $\Gamma$ 通过溶解顶点 $V^0$ 得到的度量图。假设：
(1) 图 $\Gamma_1$ 以及图 $\Gamma$ 是连通的；
(2) 接触顶点 $V^0$ 的度 $d_0$ 至少为 3，即 $d_0 \geq 3$。

设 $L_{q,a}^{st}$ 是标准磁薛定谔算子。考虑依赖于谱参数 $\lambda$ 和通过循环的磁通量 $\vec{\Phi} = (\vec{\Phi}^1, \vec{\Phi}^2)$ 的图 $\Gamma$ 和 $\Gamma_1$ 的 M 函数，其中 $\vec{\Phi}^1$ 收集了溶解 $V^0$ 时保留的循环对应的磁通量。

此外，假设两个一般满足的条件：
(a) 图 $\Gamma_1$ 上狄利克雷算子的谱是简单的；
(b) 对于图 $\Gamma_1$ 上的每个狄利克雷特征函数 $\psi_n^D$，悬挂顶点（来自 $V^0$）处的法向导数具有以下性质：要么所有导数为零，要么至少三个导数不为零。

那么对于任何固定的 $\vec{\Phi}^1 \in {0, \pi}^{\beta_1(\Gamma_1)}$，$|\partial\Gamma| \times |\partial\Gamma|$ 矩阵值的 M 函数 $M_{\Gamma}(\lambda, \vec{\Phi})$ 对于所有可能的 $\vec{\Phi}^2 \in {0, \pi}^{d_0 - 1}$ 的值，确定了 $(|\partial\Gamma| + d_0 - 1) \times (|\partial\Gamma| + d_0 - 1)$ 矩阵值的 M 函数 $M_{\Gamma_1}(\lambda, \vec{\Phi}^1)$。

证明：假设通过图 $\Gamma_1$ 中循环的磁通量 $\vec{\Phi}^1$ 是固定的，并省略 M 函数和特征函数对 $\vec{\Phi}^1$ 的依赖表示。

将图 $\Gamma_1$ 的 M 函数表示为以下分块形式，分离保留的顶点和悬挂顶点：
$M_1(\lambda) = \begin{pmatrix}
\mathbb{M}_1^{00}(\lambda) & \mathbb{M}_1^{01}(\lambda) \
\mathbb{M}_1^{10}(\lambda) & \mathbb{M}_1^{11}(\lambda)
\end{pmatrix}$

其中，$d_0 \times d_0$ 二次块 $\mathbb{M}_1^{00}$ 对应于 $\Gamma_1$ 中来自 $V^0$ 的悬挂顶点，$\mathbb{M}_1^{11}$ 是 $(|\partial\Gamma| - 1) \times (|\partial\Gamma| - 1)$ 二次块，对应于 $\Gamma$ 中保留的顶点 $V^j$（$V^j \neq V^0$）。

第一个对角块 $\mathbb{M}_1^{00}(\lambda)$ 与上面已经重构的矩阵 $M_1$ 重合，第二个对角块 $\mathbb{M}_1^{11}(\lambda)$ 与图 $\Gamma$ 的 M 函数中的相应块重合。

剩下的是重构非对角块，其奇点由 $\partial\psi_n^D(V^i) \partial\psi_n^D(V^j)$（$i = 1, 2, \cdots, d_0$，$V^j$ 是保留的顶点之一）确定。已知原始 M 函数的 0j 项中的相应奇点：
$M^{0j}(\lambda, \vec{\Phi}^2) \sim_{\lambda \to \lambda_n^D} \frac{1}{\lambda_n^D - \lambda} \partial\psi_n^D(V^j) \left( \sum_{i = 1}^{d_0} e^{i\Phi_i} \partial\psi_n^D(V^i) \right)$

这允许我们重构 $\partial\psi_n^D(V^j)$。因此，使用公式（17.37）并考虑渐近性质（21.5），可以确定块 $\mathbb{M}_1^{01}$ 和 $\mathbb{M}_1^{10}$。

以下是溶解顶点的流程 mermaid 图：

graph TD;
    A[选择度d0 >= 3的顶点V0] --> B[将V0拆分为d0个度为1的顶点得到新图Γ1];
    B --> C[确定Γ和Γ1的M函数关系];
    C --> D[使用经典BC方法恢复Γ'悬挂边的势];
    D --> E[剥离悬挂边简化逆问题];
    E --> F{是否可简化为树的逆问题};
    F -- 是 --> G[完全解决逆问题];
    F -- 否 --> H[过程终止，部分图信息未知];

以下是重构系数 $a_j$ 的步骤列表：
1. 已知 $\left( \pm a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_{d_0 - 1} + a_{d_0} \right)^2$ 对于所有可能的符号组合的值。
2. 通过对所有可能的符号进行平均得到平方和 $\sum_{i = 1}^{d_0} a_j^2$。
3. 确定组合 $\sum_{i,j = 1, i \neq j}^{d_0} \mu_i\mu_j a_i a_j$。
4. 通过再次平均恢复乘积 $a_k a_l$。
5. 如果至少三个系数非零，确定平方 $a_j^2$。
6. 恢复一个非零的 $a_j$ 到一个符号，然后根据乘积 $a_j a_i$ 确定所有其他非零系数。

磁边界控制 I：具有多个循环的图

4. 磁边界控制方法的应用与意义

磁边界控制方法（MBC - 方法）在处理具有多个独立循环的图时展现出了强大的能力。通过溶解顶点的操作，将复杂的图结构逐步简化，为解决逆问题提供了有效的途径。

在实际应用中，这种方法可以用于许多领域，例如物理中的量子图模型、工程中的网络分析等。在量子图模型中，图的结构和磁通量会影响量子粒子的传播，通过 MBC - 方法可以根据已知的谱数据来推断图的结构和势函数，从而更好地理解量子系统的行为。

在网络分析中，图可以表示各种网络结构，如电路网络、社交网络等。磁通量可以类比为网络中的某种流动或信号。通过 MBC - 方法，可以根据网络的某些观测数据（类似于谱数据）来推断网络的内部结构和参数，为网络的优化和控制提供依据。

5. 关键技术点总结

为了更好地理解和应用 MBC - 方法，下面总结一些关键的技术点：
- 顶点溶解 ：选择度 $d_0 \geq 3$ 的顶点进行溶解，打破图中的循环，使新图更接近树结构。溶解顶点时，需要确保新图和原图都是连通的。
- M 函数的关系 ：通过磁通量和谱参数建立原图和新图的 M 函数之间的关系，这是整个方法的核心。具体关系如下：
- $M_1(\lambda, \vec{\Phi}^2) = diag{\mu_j} M_1(\lambda, 1) diag{\mu_j}^{-1}$
- $\mathbb{M}(\lambda, \mu) = \sum_{i,j = 1}^{d_0} \mu_i\mu_j M_{ij}^1(\lambda, 1)$
- 狄利克雷特征函数 ：利用狄利克雷特征函数的法向导数来表示 M 函数，通过法向导数的关系来重构 M 函数。
- 系数重构 ：根据已知的平方和信息，通过平均和计算乘积的方法重构系数 $a_j$，进而确定 M 函数的奇异部分和常数矩阵。

以下是这些关键技术点的关系表格：
| 技术点 | 作用 | 相关公式 |
| — | — | — |
| 顶点溶解 | 简化图结构，打破循环 | $\beta_1(\Gamma) - \beta_1(\Gamma_1) = d_0 - 1$ |
| M 函数关系 | 建立原图和新图的联系 | $M_1(\lambda, \vec{\Phi}^2) = diag{\mu_j} M_1(\lambda, 1) diag{\mu_j}^{-1}$，$\mathbb{M}(\lambda, \mu) = \sum_{i,j = 1}^{d_0} \mu_i\mu_j M_{ij}^1(\lambda, 1)$ |
| 狄利克雷特征函数 | 表示 M 函数 | $\mathbb{M}(\lambda, \mu) \sim_{\lambda \to \lambda_n^D} \frac{1}{\lambda_n^D - \lambda} \sum_{i,j = 1}^{d_0} \mu_i\mu_j \partial\psi_n^D(V^i) \partial\psi_n^D(V^j)$ |
| 系数重构 | 确定 M 函数的具体形式 | $\sum_{i = 1}^{d_0} a_j^2 = \frac{1}{2^{d_0 - 1}} \sum_{\mu \in ({1, -1}^{d_0 - 1}, 1)} (\mu_1 a_1 + \mu_2 a_2 + \cdots + \mu_{d_0 - 1} a_{d_0 - 1} + a_{d_0})^2$ 等 |

6. 进一步思考与拓展

虽然 MBC - 方法在处理具有多个循环的图时取得了很好的效果，但仍然有一些方面可以进一步思考和拓展：
- 特殊情况处理 ：对于只有一个循环的图，文中提到需要特殊处理，但没有详细说明具体的方法。可以进一步研究针对单循环图的特殊处理策略，以完善整个方法体系。
- 计算复杂度 ：在实际应用中，溶解顶点和重构 M 函数的计算复杂度可能会成为一个问题。可以探索如何优化算法，降低计算复杂度，提高方法的效率。
- 多顶点溶解 ：文中主要讨论了溶解单个顶点的情况，对于多个顶点同时溶解的情况可以进行进一步研究。多顶点溶解可能会带来更复杂的图结构变化和 M 函数关系，需要开发相应的理论和算法。

以下是进一步拓展研究的思路流程图：

graph TD;
    A[MBC - 方法现有成果] --> B[特殊情况处理：单循环图];
    A --> C[计算复杂度优化];
    A --> D[多顶点溶解研究];
    B --> E[完善方法体系];
    C --> E;
    D --> E;
    E --> F[更广泛的应用场景];