72、单周期图的磁边界控制与反问题求解

单周期图的磁边界控制与反问题求解

在图论和量子物理的研究中，对于图的磁边界控制（MBC）方法的应用有着重要的意义。不过，之前的MBC方法主要适用于具有多个独立周期的图，因为其要求溶解顶点至少能打破两个周期。为了完善相关理论，我们需要探讨如何将MBC方法的思想应用于只有一个周期的图。这类图的集合相对有限，主要包括环和具有多个接触顶点的周期图。

1. 单周期图与反问题

对于单周期图，我们发现循环图的反问题通常是可解的，而环则会带来一些问题。这些问题也解释了在某些研究中排除带环图的原因。这里讨论的方法是专门针对单周期图的，不能直接扩展到任意图，所以我们单独对这类图进行研究。

此外，还对一种拆解程序进行了推广。结果表明，MBC方法有助于解决子树平行情况下的反问题，这种方法与解决单周期图的反问题有相似之处。

2. 环的反问题

2.1 边和环的M函数

我们的目标是建立边和环的M函数之间的明确联系。考虑任意紧凑边 $[x_1, x_2]$ 以及其上的磁微分表达式 $\tau_{q,a}$，可以从这条边形成两种可能的度量图：单边图 $\Gamma_{l_1}^{edge}$ 和环图 $\Gamma_{l_1}^{loop}$，其中 $l_1 = x_2 - x_1$。

在标准顶点条件下，相应的薛定谔算子是唯一确定的。每个图都关联着一个M函数：
- 2×2矩阵的边M函数 $M^{edge} = M_{\Gamma_{l_1}^{edge}}$；
- 标量环M函数 $M^{loop} = M_{\Gamma_{l_1}^{loop}}$。

边M函数连接了边上微分方程任意解的边界值，所以边M函数能确定环M函数，但反之并不总是可行。

为了计算标量环M函数 $M^{loop}$，需要求解磁薛定谔方程：
$\tau_{q,a}\psi = \left(-\frac{1}{i}\frac{d}{dx} + a(x)\right)^2\psi + q(x)\psi = \lambda\psi$
并满足在 $V^1$ 处的连续性条件。环M函数的表达式为：
$M^{loop} = \frac{\partial\psi(V^1)}{\psi(V^1)} = \frac{(\psi’(x_1) - ia(x_1)\psi(x_1)) + (-\psi’(x_2) + ia(x_2)\psi(x_2))}{\psi(x_1)}$

考虑酉变换：
$\psi(x) \to \hat{\psi}(x) = (U\psi)(x) = \exp\left(-i\int_{x_1}^{x}a(y)dy\right)\psi(x)$
该变换消除了环上的磁势，得到：
$U\tau_{q,a}U^{-1} = \tau_{q,0}$
同时边界值也发生了修改：
$\begin{cases}
\psi(V^1) = \hat{\psi}(x_1) = e^{i\Phi}\hat{\psi}(x_2) \
\partial\psi(V^1) = \hat{\psi}’(x_1) - e^{i\Phi}\hat{\psi}’(x_2)
\end{cases}$
其中 $\Phi = \int_{x_1}^{x_2}a(y)dy$ 是磁通量。可以看出，M函数依赖于磁通量 $\Phi$，而不是磁势的具体形式，即 $M^{loop} = M^{loop}(\lambda, \Phi)$。

接下来，我们使用微分表达式 $\tau_{q,0} = -\frac{d^2}{dx^2} + q(x)$ 给出的薛定谔算子，将 $\Phi$ 纳入边界值的定义中。环M函数可以重新表示为：
$M^{loop}(\lambda, \Phi) = \frac{\psi’(x_1) - e^{i\Phi}\psi’(x_2)}{\psi(x_1)}$
其中 $\psi$ 是无磁势的定态薛定谔方程 $\tau_{q,0}u = -\psi’’ + q(x)\psi = \lambda\psi$（$Im\lambda \neq 0$）的解。

实际上，我们不需要知道解在区间内的具体形式，只需要知道其边界值之间的关系。这个关系由边M函数给出：
$M_e(\lambda) =
\begin{bmatrix}
-\frac{t_{11}(k)}{t_{12}(k)} & \frac{1}{t_{12}(k)} \
\frac{1}{t_{12}(k)} & -\frac{t_{22}(k)}{t_{12}(k)}
\end{bmatrix}
:
\begin{bmatrix}
\psi(x_1) \
\psi(x_2)
\end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix}
\psi’(x_1) \
-\psi’(x_2)
\end{bmatrix}$
其中 $t_{ij}$ 是转移矩阵 $T_q(\lambda; x_1, x_2)$ 的元素：
$T_q(\lambda; x_1, x_2) =
\begin{bmatrix}
t_{11}(k) & t_{12}(k) \
t_{21}(k) & t_{22}(k)
\end{bmatrix}
:
\begin{bmatrix}
\psi(x_1) \
\psi’(x_1)
\end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix}
\psi(x_2) \
\psi’(x_2)
\end{bmatrix}$

需要注意的是，在定义边M函数时，我们假设磁势为零。M函数的公式对于任何 $Im\lambda \neq 0$ 都成立，因为在 $\lambda = k^2$ 的实轴之外，$t_{12}(k) \neq 0$，否则在 $[x_1, x_2]$ 上的狄利克雷薛定谔算子将有非实特征值。

2.2 转移矩阵元素的渐近表示

为了后续计算，我们需要转移矩阵元素的渐近表示。这些表示直接从积分方程 (5.6) 通过迭代求解得到。转移矩阵的所有元素都是 $k$ 的指数型整函数，在复平面 $k \in \mathbb{C}$ 上有以下渐近表示：
$t_{11}(k) = \cos l_1k + O\left(\frac{e^{l_1|Im k|}}{|k|}\right)$
$t_{12}(k) = \frac{1}{k}\sin l_1k + O\left(\frac{e^{l_1|Im k|}}{|k|^2}\right)$

对于实 $k \in \mathbb{R}$，渐近表示为：
$t_{11}(k) \equiv c(k, x_2) = \cos kl_1 - \frac{\sin kl_1}{2k}\int_{x_1}^{x_2}q(t)dt - \frac{1}{2k}\int_{x_1}^{x_2}\sin k(x_1 + x_2 - 2t)q(t)dt + O\left(\frac{1}{k^2}\right)$
$t_{12}(k) \equiv s(k, x_2) = \frac{\sin kl_1}{k} + \frac{\cos kl_1}{2k^2}\int_{x_1}^{x_2}q(t)dt - \frac{1}{2k^2}\int_{x_1}^{x_2}\cos k(x_1 + x_2 - 2t)q(t)dt + O\left(\frac{1}{k^3}\right)$
$t_{22}(k) \equiv s’(k, x_2) = \cos kl_1 - \frac{\sin kl_1}{2k}\int_{x_1}^{x_2}q(t)dt + \frac{1}{2k}\int_{x_1}^{x_2}\sin k(x_1 + x_2 - 2t)q(t)dt + O\left(\frac{1}{k^2}\right)$

我们还引入了函数 $u_{\pm}(k) = \frac{1}{2}(t_{11}(k) \pm t_{22}(k))$，其中 $u_+(k)$ 被称为李雅普诺夫函数，因为它对于周期薛定谔（希尔）算子很重要，方程 $u_+(k) = \pm 1$ 确定了周期算子连续谱带的端点。$u_{\pm}$ 的渐近公式为：
$u_+(k) = \frac{1}{2}(t_{11}(k) + t_{22}(k)) = \cos l_1k + \frac{\sin l_1k}{2k}\int_{0}^{l_1}q(t)dt + O(k^{-2})$
$u_-(k) = \frac{1}{2}(t_{11}(k) - t_{22}(k)) = \int_{0}^{l_1}\frac{\sin(l_1 - 2t)k}{2k}q(t)dt + O(k^{-2})$

特别地，如果 $q \in L^2(\mathbb{R})$，则 $ku_-(k) \in L^2(\mathbb{R})$，这个性质对于反问题的求解至关重要。

2.3 环M函数的计算

为了从公式 (23.6) 计算标量环M函数 $M^{loop}$，我们需要满足边界值 $\psi(x_1) = \psi(V^1)$ 和 $\psi(x_2) = e^{-i\Phi}\psi(V^1)$ 的 (23.7) 的解。该解的法向导数由边M函数给出：
$\begin{cases}
\psi’(x_1) = M_{11}\psi(x_1) + M_{12}\psi(x_2) = (M_{11} + e^{-i\Phi}M_{12})\psi(V^1) \
-\psi’(x_2) = M_{21}\psi(x_1) + M_{22}\psi(x_2) = (M_{21} + e^{-i\Phi}M_{22})\psi(V^1)
\end{cases}$
其中 $M_{ij}$ 是矩阵 $M^{edge}(\lambda)$ 的元素。那么法向导数 $\partial\psi(V^1)$ 为：
$\partial\psi(V^1) = \psi’(x_1) - e^{i\Phi}\psi’(x_2) = (M_{11} + e^{-i\Phi}M_{12} + e^{i\Phi}M_{21} + M_{22})\psi(V^1)$
由此可得环M函数的表达式为：
$M^{loop}(\lambda, \Phi) = M_{11} + 2\cos\Phi M_{12} + M_{22} = \frac{2\cos\Phi - Tr T(k)}{t_{12}(k)}$
这里考虑到了 $M_{12} = M_{21}$。

通过以上步骤，我们详细探讨了单周期图中边和环的M函数的性质和计算方法，为解决相关的反问题提供了重要的理论基础。整个过程涉及到磁薛定谔方程的求解、酉变换的应用以及转移矩阵元素的渐近分析等多个关键步骤，这些步骤相互关联，共同构成了研究单周期图反问题的重要框架。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示了计算环M函数的主要步骤：

graph TD;
    A[给定边[x1, x2]和磁微分表达式] --> B[形成单边图和环图];
    B --> C[确定薛定谔算子];
    C --> D[定义边M函数和环M函数];
    D --> E[求解磁薛定谔方程];
    E --> F[进行酉变换消除磁势];
    F --> G[计算边界值关系];
    G --> H[得到环M函数表达式];

同时，我们可以用表格总结边和环的M函数的相关信息：
| M函数类型 | 表达式 | 特点 |
| ---- | ---- | ---- |
| 边M函数 $M^{edge}$ | $M_e(\lambda) =
\begin{bmatrix}
-\frac{t_{11}(k)}{t_{12}(k)} & \frac{1}{t_{12}(k)} \
\frac{1}{t_{12}(k)} & -\frac{t_{22}(k)}{t_{12}(k)}
\end{bmatrix}$ | 2×2矩阵，连接边微分方程解的边界值 |
| 环M函数 $M^{loop}$ | $M^{loop}(\lambda, \Phi) = \frac{2\cos\Phi - Tr T(k)}{t_{12}(k)}$ | 标量函数，依赖磁通量 $\Phi$ |

单周期图的磁边界控制与反问题求解

3. 反问题求解中的关键性质与应用

在反问题的求解过程中，我们所得到的各种函数和性质都起着至关重要的作用。下面我们进一步探讨这些内容在实际求解中的应用。

3.1 转移矩阵元素性质的应用

转移矩阵元素的渐近表示在分析问题时具有重要意义。例如，在判断狄利克雷薛定谔算子的特征值时，我们利用了 $t_{12}(k)$ 的性质。如果 $t_{12}(k_j) = 0$，那么 $\lambda_j = k_j^2$ 就是在 $[x_1, x_2]$ 上具有相同势 $q(x)$ 的狄利克雷薛定谔算子的特征值。这一结论可以通过以下逻辑来理解：
当 $t_{12}(k_j) = 0$ 时，边M函数的表达式会出现特殊情况，导致边界条件满足狄利克雷算子特征值的条件。具体来说，边M函数与转移矩阵元素相关，而狄利克雷算子的特征值与边界条件紧密相连。当 $t_{12}(k_j) = 0$ 时，边M函数所描述的边界值关系使得解满足狄利克雷边界条件，从而确定 $\lambda_j = k_j^2$ 为特征值。

另外，转移矩阵元素的渐近表示在计算环M函数时也起到了关键作用。在计算环M函数 $M^{loop}(\lambda, \Phi) = \frac{2\cos\Phi - Tr T(k)}{t_{12}(k)}$ 时，我们需要知道 $t_{12}(k)$ 等元素的具体形式，而渐近表示为我们提供了在不同情况下（如复平面和实轴上）的近似表达式，方便我们进行计算和分析。

3.2 李雅普诺夫函数与连续谱带端点

李雅普诺夫函数 $u_+(k) = \frac{1}{2}(t_{11}(k) + t_{22}(k))$ 对于周期薛定谔（希尔）算子的研究非常重要。方程 $u_+(k) = \pm 1$ 确定了周期算子连续谱带的端点。这一性质可以帮助我们分析周期算子的谱结构。
当 $u_+(k) = 1$ 或 $u_+(k) = -1$ 时，对应的 $k$ 值确定了连续谱带的边界。通过渐近公式 $u_+(k) = \cos l_1k + \frac{\sin l_1k}{2k}\int_{0}^{l_1}q(t)dt + O(k^{-2})$，我们可以大致估计这些边界值的位置。随着 $k$ 的变化，$\cos l_1k$ 和 $\frac{\sin l_1k}{2k}\int_{0}^{l_1}q(t)dt$ 等项的综合作用决定了 $u_+(k)$ 的取值，从而确定连续谱带的范围。

3.3 $ku_-(k) \in L^2(\mathbb{R})$ 性质的作用

性质 $ku_-(k) \in L^2(\mathbb{R})$（前提是 $q \in L^2(\mathbb{R})$）对于反问题的求解至关重要。在反问题中，我们通常需要从已知的某些函数（如环M函数）来反推势函数 $q(x)$。$ku_-(k)$ 的 $L^2$ 性质为我们提供了一种约束条件。
在一些反问题的求解方法中，我们会建立关于势函数 $q(x)$ 的积分方程或方程组。而 $ku_-(k) \in L^2(\mathbb{R})$ 这一性质可以作为一种正则化条件，帮助我们筛选出符合物理实际的解。例如，在使用迭代法求解反问题时，$ku_-(k)$ 的 $L^2$ 性质可以作为迭代过程中的一个判断标准，确保迭代得到的解不会出现不合理的发散或振荡情况。

4. 总结与展望

通过以上的研究，我们深入探讨了单周期图中边和环的M函数的性质、计算方法以及它们在反问题求解中的应用。我们建立了边和环的M函数之间的联系，得到了转移矩阵元素的渐近表示，并利用这些结果计算了环M函数。同时，我们还分析了李雅普诺夫函数、连续谱带端点以及 $ku_-(k)$ 的 $L^2$ 性质在反问题求解中的重要作用。

在未来的研究中，我们可以进一步拓展这些方法。例如，可以考虑将这些方法应用到更复杂的图结构中，如具有多个周期或更复杂拓扑结构的图。另外，我们还可以探索如何利用这些方法解决实际物理问题，如量子系统中的谱分析和控制问题。

以下是一个表格，总结了本文中重要函数和性质的相关信息：
| 函数/性质 | 表达式 | 作用 |
| ---- | ---- | ---- |
| 边M函数 $M^{edge}$ | $M_e(\lambda) =
\begin{bmatrix}
-\frac{t_{11}(k)}{t_{12}(k)} & \frac{1}{t_{12}(k)} \
\frac{1}{t_{12}(k)} & -\frac{t_{22}(k)}{t_{12}(k)}
\end{bmatrix}$ | 连接边微分方程解的边界值，用于计算环M函数 |
| 环M函数 $M^{loop}$ | $M^{loop}(\lambda, \Phi) = \frac{2\cos\Phi - Tr T(k)}{t_{12}(k)}$ | 描述环图的相关性质，用于反问题求解 |
| 转移矩阵元素渐近表示 | $t_{11}(k) = \cos l_1k + O\left(\frac{e^{l_1|Im k|}}{|k|}\right)$ 等 | 用于计算和分析环M函数，判断狄利克雷算子特征值 |
| 李雅普诺夫函数 $u_+(k)$ | $u_+(k) = \frac{1}{2}(t_{11}(k) + t_{22}(k))$ | 确定周期算子连续谱带端点 |
| $ku_-(k) \in L^2(\mathbb{R})$ | - | 作为反问题求解的约束条件 |

下面是一个mermaid流程图，展示了整个研究过程的主要步骤和逻辑关系：

graph TD;
    A[研究单周期图] --> B[建立边和环的M函数联系];
    B --> C[推导转移矩阵元素渐近表示];
    C --> D[计算环M函数];
    D --> E[分析李雅普诺夫函数和连续谱带端点];
    E --> F[利用 $ku_-(k)$ 性质求解反问题];
    F --> G[拓展应用到更复杂图结构和实际问题];

通过以上的研究和总结，我们为单周期图的磁边界控制和反问题求解提供了一个较为完整的理论框架和方法体系，为进一步的研究和应用奠定了基础。