62、一维薛定谔方程的逆问题与边界控制方法

一维薛定谔方程的逆问题与边界控制方法

在科学研究和工程应用中，一维薛定谔方程的逆问题是一个重要的研究方向。通过边界控制（BC）方法，我们可以根据已知的响应信息来重建方程中的势函数。本文将详细介绍如何使用BC方法解决一维薛定谔方程的逆问题。

1. 问题描述

考虑在区间 $[0, +\infty)$ 上的波动方程，在 $x = 0$ 处进行边界控制：
[
\begin{cases}
-\frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} + q(x)u(x, t) = -\frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2}\
u(x, t) = 0, & t < x \text{ (因果条件)}\
u(x, 0) = \frac{\partial}{\partial t}u(x, 0) = 0\
u(x, 0) = f(t)
\end{cases}
]
对于足够小的 $t \leq T$，该问题的解具有如下表示：
[
u^f(x, t) =
\begin{cases}
f(t - x) + \int_x^t w(x, s)f(t - s)ds, & x \leq t\
0, & t \leq x
\end{cases}
]
其中 $w(x, t)$ 是Goursat问题的唯一解：
[
\begin{cases}
(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + q(x))w = -\frac{\parti