59、图的拼接过程、谱间隙与M函数

图的拼接过程、谱间隙与M函数

在图论和相关领域的研究中，图的拼接操作以及与之相关的谱间隙和M函数是重要的研究内容。下面将详细介绍图的拼接过程及其对谱间隙的影响，以及如何通过M函数来描述和分析这些过程。

1. 拼接过程与谱间隙示例

1.1 两段线段的拼接

考虑两段长度分别为 (a = 1)（记为图 (\Gamma_1)）和 (b = 0.5)（记为图 (\Gamma_2)）的线段拼接在一起。相应的M函数以变量 (k = \text{sign}(\lambda)\sqrt{|\lambda|}) 为横轴绘制。调整线段长度使得 (\lambda_2(\Gamma_1) = \lambda_D^1(\Gamma_1) = \pi^2)，(\lambda_2(\Gamma_2) = \lambda_D^1(\Gamma_2) = (2\pi)^2)。

这个例子具有一定的退化性，矩阵 (M_{\Gamma_1}) 和 (M_{\Gamma_2}) 共享相同的特征向量 ((1, 1)) 和 ((1, -1))。因此，矩阵 (M_{\Gamma}) 也具有相同的特征向量，其能量曲线可通过对 (M_{\Gamma_j})（(j = 1, 2)）的能量曲线求和得到。可以明显看到，对应特征向量 ((1, -1)) 的蓝色能量曲线的第一个零点会向右移动，且与边的实际长度无关。

在点 (\pi^2 = \lambda_2(\Gamma_1)) 的左侧，函数 (M_{\Gamma}) 有一个负特征值，这意味着 (\lambda_2(\Gamma) = (\frac{3}{2}\pi)^2 > \lambda_2(\Gamma_1) = \pi^2)。值得注意