58、图拼接过程与谱间隙：基于M函数的研究

图拼接过程与谱间隙：基于M函数的研究

在量子图的研究中，图的拼接过程以及拼接后谱间隙的变化是一个重要的问题。谱间隙指的是标准拉普拉斯算子的前两个非零特征值之间的差值。通常认为，由于拼接后图的总长度增加，谱间隙会减小，但实际情况并非总是如此。本文将运用M函数理论来深入探讨这一问题。

1. 基本概念与符号定义

考虑两个度量图 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$，选取它们的顶点子集 $\partial\Gamma_j = {V^m(\Gamma_j)} {m = 1}^{M {\partial}}$，且这两个子集大小相同。将 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 中属于 $\partial\Gamma_1$ 和 $\partial\Gamma_2$ 的顶点两两对应合并，得到拼接后的图 $\Gamma = \Gamma_1 \sqcup_{\partial} \Gamma_2$。

在本文中，有两个重要的算子：
- 狄利克雷拉普拉斯算子 ：$L^D(\Gamma_1, \Gamma_2)$ 定义在满足接触集上狄利克雷条件和所有内部顶点标准条件的函数上，其特征值记为 $\lambda^D_j(\Gamma_1, \Gamma_2)$。
- 标准拉普拉斯算子 ：$L^{st}(\Gamma)$、$L^{st}(\Gamma_1, \Gamma_2)$ 定义在满足所有顶点标准条件的函数上，其特征值记为 $\lambda_j(\Gamma) = \lambda^{st}_j(\Gamma)$ 和 $\lambda_j(\Gamma_1, \Gamma_2) =