57、M函数：性质与初步应用

M函数：性质与初步应用

1. 矩阵值Herglotz - Nevanlinna函数的定义

矩阵值函数 $M(\lambda)$（$\lambda \in \mathbb{C}$）被称为Herglotz - Nevanlinna函数，当且仅当满足以下条件：
1. 它在实轴 $\lambda \in \mathbb{R}$ 之外解析。
2. 在上半平面中，其虚部为正：$\text{Im} \lambda > 0 \Rightarrow \text{Im} M(\lambda) \geq 0$。
3. 它关于实轴对称：$M^*(\lambda) = M(\overline{\lambda})$。

实轴包含了Herglotz - Nevanlinna函数的所有奇点，因为不假设函数在实轴上解析。若函数 $M$ 在某点 $\lambda_0$ 处奇异，并不一定意味着该点函数值无穷大，函数可能在 $\lambda_0$ 处有跳跃，使得极限 $M(\lambda_0 \pm i0) := \lim_{\epsilon \searrow 0} M(\lambda_0 \pm i\epsilon)$ 存在但不相等。

我们要使用的Herglotz - Nevanlinna函数子类可称为Wigner函数，其特点是函数在 $\mathbb{C}$ 上除了离散的实奇点集外解析。后续将证明，这些奇点就是Dirichlet算子 $L^D$ 的特征值。

1.1 证明图的M函数是矩阵值Herglotz - Nevanlinna函数

设 $\Gamma$ 是一个紧凑有限度量图，其接触集 $\partial \Gamma$ 由 $M_{\p