17、特征方程：M 函数方法详解

特征方程：M 函数方法详解

1. 边缘 M 函数相关问题与定义

在研究特征方程时，有两个重要问题值得关注：
- 问题 26：在零势情况下，仅使用表示式 (5.55) 证明 $M_e(\lambda)$ 是 Herglotz - Nevanlinna 函数。
- 问题 27：新引入的边缘 M 函数与由 (5.32) 定义的边缘散射矩阵 $S_e$ 之间有什么关系？

边缘 M 函数 $M_e$ 是一个 $2N×2N$ 的矩阵函数，在边界值的边缘基下是块对角的，其表达式为：
$M_e(\lambda) = diag {M_n^e (\lambda)} {n = 1}^N$
其中，$M_n^e (\lambda)$ 是与边 $E_n = [x {2n - 1}, x_{2n}]$ 相关的 $2×2$ 函数。

边缘 M 函数是 Herglotz - Nevanlinna 函数，因为每个 $M_n^e (\lambda)$ 都是 Herglotz - Nevanlinna 函数。该 M 函数由所有区间上的微分表达式 $\tau_{q,a}$ 确定，并且不包含关于顶点条件或度量图连通性的信息。

最初为非实 $\lambda$ 定义的边缘 M 函数可以扩展到所有 $\lambda$，只要这些 $\lambda$ 不是任何边上微分表达式 $\tau_{q,a}$ 的 Dirichlet - Dirichlet 特征值。这些特征值与区间 $E_n$ 相关的系数 $t_{12}^n (\lambda)$ 的零点重合。对于有限紧致图，这个集合的测度总是为零，这意味着 $M_e(\lambda)$ 在几乎所有实 $\lamb