5、利用顶点散射矩阵的顶点条件

利用顶点散射矩阵的顶点条件

在研究中，我们可以使用散射矩阵对所有顶点条件进行另一种等价的参数化。散射矩阵是一个幺正矩阵，它描述了波如何通过顶点进行传播。这种参数化方式具有以下优点：
1. 矩阵唯一性 ：给出这种参数化的矩阵是唯一的。
2. 参数解释清晰 ：参数具有明确的物理意义。
3. 条件表征直接 ：能够直接对所有适当连接条件进行表征。

接下来，我们将主要使用这种参数化方法进行研究。

顶点散射矩阵

我们先引入顶点散射矩阵的概念。考虑星型图上的拉普拉斯算子 (L^{(A,B)})，它在满足条件 (3.10) 的函数定义域上定义为 (-\frac{d^2}{dx^2})。该算子的绝对连续谱与狄利克雷拉普拉斯算子 (L^D) 相同，都为区间 ([0, \infty))，重数为 (d)。 (L^{(A,B)}) 对应的广义特征函数，通常称为散射波，是满足微分方程 (-\frac{d^2}{dx^2}\psi = \lambda\psi) 和顶点条件 (3.21) 的一致有界解。

在每个区间 ([x_j, \infty)) 上，该微分方程的解可以写成如下形式：
(\psi(x)|_{E_j =[x_j, \infty)} = e^{-ik(x - x_j)}b_j + e^{ik(x - x_j)}a_j)，其中 (k \in R^+)。

我们可以将 (e^{-ik(x - x_j)}b_j) 看作是某种入射波，它与顶点相互作用后，会被反射为出射波 (e^{ik(x - x_j)}a_j)。显然，