信号处理与滤波器设计实例解析

17、考虑一个由50Hz和120Hz的两个正弦波之和组成的信号，该信号受到加性零均值白噪声的干扰。计算并绘制其功率谱密度。

t = 0:0.001:0.8; % T=0.001, so Fs=1 kHz
x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t) + 2*randn(1,length(t)); 
subplot(211); 
plot(x(1:500)); 
title('Signal'); 
X = fft(x,512); 
Px = X.*conj(X)/512; 
f = 1000*(0:255)/512; % f=Fe*(k - 1)/N 
subplot(212); 
plot(f, Px(1:256)); 
title('Power spectral density');

18、计算数字信号 (x[n]=n + 50cos(2πn/40))（n 取值范围为 1 到 100）的一维离散余弦变换（DCT1D），并确定其前三个系数累积的总能量的百分比。

使用代码

x = (1:100) + 50*cos(2*pi/40*(1:100));
X = dct(x);
norm([X(1), X(2), X(3)]) / norm(X)

计算，得到累积能量的百分比为 0.8590 。

19、以下矩阵：x = [1 1 1 1 1; 1 0 0 0 1; 1 0 0 0 1; 1 0 0 0 1; 1 1 1 1 1]; 表示一个以白色为背景、黑色正方形为主体的二值数字图像。绘制该图像，然后计算并绘制该图像的二维离散傅里叶变换（DFT2D）和二维离散余弦变换（DCT2D）。

可使用以下MATLAB代码完成任务：

```matlab
x = [1 1 1 1 1; 
     1 0 0 0 1; 
     1 0 0 0 1; 
     1 0 0 0 1; 
     1 1 1 1 1];

Xf = fft2(x);
Xfsh = fftshift(Xf);
Xc = dct2(x);

subplot(221); 
imagesc(x); 
title('Original image');

subplot(222); 
imagesc(abs(Xfsh)); 
title('DFT2D');

subplot(223); 
imagesc(abs(Xc)); 
title('DCT2D');

##20、考虑一个幅值为1、频率f = 12.5 Hz的128点正弦信号。该信号以Fs = 64 Hz或Fs = 128 Hz进行采样。其离散傅里叶变换（DFT）计算点数为128或256。编写MATLAB代码，展示对应以下三种情况的信号频谱表示：a. Fs = 64 Hz，Nfft = 128；b. Fs = 128 Hz，Nfft = 128；c. Fs = 128 Hz，Nfft = 256。
```matlab
t = (1:128);
f1 = 12.5; % 信号频率

% 情况a: Fs = 64 Hz，Nfft = 128
Fs = 64;
y1 = sin(2*pi*f1/Fs*t);
sig = y1;
Nfft = 128;
y = abs(fft(sig, Nfft));
f0 = [0:Fs/Nfft:(Fs - Fs/Nfft)];

% 情况b: Fs = 128 Hz，Nfft = 128
Fs = 128;
y1 = sin(2*pi*f1/Fs*t);
sig = y1;
Nfft = 128;
y_rect = abs(fftshift(fft(sig, Nfft)));

% 情况c: Fs = 128 Hz，Nfft = 256
Nfft1 = 256;
y_rect1 = abs(fftshift(fft(sig, Nfft1)));

f = [-Fs/2:Fs/Nfft:(Fs/2 - Fs/Nfft)];
f1 = [-Fs/2:Fs/Nfft1:(Fs/2 - Fs/Nfft1)];

subplot(3,1,1);
stem(f0, y);
grid on;
axis([0 64 0 80]);
title('Fs = 64 Hz, Nfft = 128 points');
ylabel('Spectral amplitude');

subplot(3,1,2);
stem(f(Nfft/2 + 1:Nfft), y_rect(Nfft/2 + 1:Nfft));
grid on;
title('Fs = 128 Hz, Nfft = 128 points');
ylabel('Spectral amplitude');

subplot(3,1,3);
stem(f1, y_rect1);
grid on;
title('Fs = 128 Hz, Nfft = 256 points');
ylabel('Spectral