17、信号处理中的滤波器设计与随机信号处理

信号处理中的滤波器设计与随机信号处理

在信号处理领域，滤波器设计和随机信号处理是两个重要的方面。下面将详细介绍滤波器设计的相关示例以及随机信号处理的基础知识。

滤波器设计示例

1. 戈泽尔滤波器（Goertzel Filter）

戈泽尔滤波器是一种特殊的无限脉冲响应（IIR）滤波器，其唯一的系数（也是系统的唯一极点）是单位圆上的第 $N$ 个单位根 $W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$ 的 $k$ 次幂。该滤波器是复值滤波器，但分析方法与实值滤波器类似。

由于滤波器的极点在单位圆上，系统不稳定。不过，我们可以计算其脉冲响应。假设零初始条件，通过差分方程 $y[n] = x[n] + W_N^{-k}y[n - 1]$，当 $x[n] = \delta[n]$ 时，经过迭代可得脉冲响应 $h[n] = W_N^{-kn}u[n]$，且该脉冲响应是 $N$ 周期的。

若有长度为 $N$ 的信号 $x[n]$，构建有限支持扩展 $\overline{x}[n]$，使其在 $n < 0$ 和 $n \geq N$ 时为 0，其他情况等于 $x[n]$。用戈泽尔滤波器处理该信号，最终在 $n = N$ 时的输出 $y[N]$ 为 $x[n]$ 的第 $k$ 个离散傅里叶变换（DFT）系数，即：
[y[N] = \sum_{n = 0}^{N - 1}W_N^{-k(N - n)}x[n] = \sum_{n = 0}^{N - 1}x[n]W_N^{nk} = X[k]]

戈泽尔滤波器可用于在不计算整个 DFT 的情况下获取特定的傅里叶系数。但作为滤波器，其使用是非标准的，每次 $N$ 次迭