14、信号处理中的滤波器原理与应用

信号处理中的滤波器原理与应用

1. 信号处理基础概念

1.1 因果性

系统响应仅取决于当前和过去的输入，如 x(0)、x( - 1) 等，未来输入 x( + 1)、x( + 2) 等对输出 y(0) 无影响。所有实时系统，像电信系统，都必须是因果的，因为它们无法获取未来输入。MATLAB 中的所有系统和滤波器都按因果方式索引。不过，在地球科学中，会使用大量非因果滤波器，例如对图像和从沉积物岩芯提取的信号进行滤波时，滤波时未来输入是已知的。滤波后，输出信号需要延迟以补偿因果和非因果索引之间的差异。

1.2 稳定性

若有限输入 x(t) 的输出 y(t) 也是有限的，则系统是稳定的。在滤波器设计中，稳定性至关重要，因为滤波器常存在引发发散输出的缺点，此时就需要修订和改进滤波器设计。

1.3 线性时不变（LTI）系统

LTI 系统是一种特殊类型的滤波器，具有上述所有优点，且在许多应用中易于设计和使用。这类滤波器主要用于提取信号中的特定频率成分，以降低信号中的噪声水平。但许多自然系统并非 LTI 系统，因为信噪比通常随时间变化。

2. 卷积与滤波

2.1 卷积与滤波的关系

卷积是系统变换的数学描述，滤波是卷积过程的应用。以长度为 5 的滑动平均滤波器为例，输出 y(t) 是输入值 x(t - 2)、x(t - 1)、x(t)、x(t + 1) 和 x(t + 2) 的平均值，即所有输入值乘以 1/5 后求和得到 y(t)。这里的 5 个系数称为滤波器权重 bk，该滤波器可表示为向量 b = [0.2 0.2 0.2 0.2 0.2]。由于此滤波器对称