31、针孔相机模型：原理、参数与几何问题解析

针孔相机模型：原理、参数与几何问题解析

在计算机视觉和图像处理领域，理解图像的形成过程至关重要。现实世界中的图像形成是一个复杂的过程，光线从一个或多个光源发出，穿过场景，与物体材料发生反射、折射和散射等物理过程，部分光线进入相机并被测量。我们对这个正向模型有很好的理解，在已知几何形状、光源和材料属性的情况下，计算机图形技术可以非常准确地模拟相机所看到的景象。

然而，视觉算法的最终目标是进行完整的重建，即反转这个正向模型，从图像中估计光源、材料和几何形状。但完全的视觉重建面临诸多挑战，因为解决方案并非唯一。例如，当光源强度增加而物体反射率相应降低时，图像可能保持不变。即使引入先验知识，重建仍然困难，因为场景参数化不易，且问题具有高度的非凸性。

为了简化问题，我们采用了一种用稀疏的视觉基元（点）来近似3D场景和观测图像的模型，即投影针孔相机模型。接下来，我们将深入探讨针孔相机模型的原理、参数以及相关的几何问题。

针孔相机模型基础

针孔相机是一个纯粹的几何模型，用于描述世界中的点如何投影到图像中。在现实生活中，针孔相机由一个前面带有小孔（针孔）的腔室组成，来自物体的光线穿过针孔在腔室背面（图像平面）形成倒立的图像。为了便于数学建模，我们考虑将图像平面置于针孔前方所形成的虚拟图像，这在数学上与真实的针孔模型等价，只是图像是正立的。

针孔相机模型的一些关键术语包括：
- 光学中心 ：光线汇聚的点，通常假设位于3D世界坐标系的原点，用 ( w = [u, v, w]^T ) 表示点的坐标。
- 图像平面 ：虚拟图像形成的平面，沿 ( w ) 轴（光轴）与光学