43、带嵌套应用条件规则的局部汇流性解析

云朵来信

于 2025-10-14 10:39:43 发布

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分类专栏：图变换：模型与计算文章标签：图变换系统局部汇流性嵌套应用条件

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带嵌套应用条件规则的局部汇流性解析

1. 研究背景与适用范围

在图变换系统的研究中，带应用条件（ACs）规则的局部汇流性定理是重要的研究成果。虽然相关呈现一定程度上是非正式的，未包含证明，但技术报告补充了缺失的技术细节。研究成果不仅适用于标准图变换系统，还可推广到具有特定性质的粘合范畴上的变换系统，如具有满 - M 分解、唯一 E - M 对分解（M 为所有单态射类）以及关于 M - 态射的初始推出的范畴。以图和态射在类型图 $TG$ 上进行类型化的范畴 $Graphs_{TG}$ 就是这样一个粘合范畴，满足上述性质。

2. 图变换中的汇流性

汇流性与局部汇流性 ：汇流性是确保变换系统具有函数性行为的性质。若图 $K$ 能变换为两个图 $P_1$ 和 $P_2$，且这两个图能变换为图 $K’$，则系统是汇流的，用图表示为：

graph LR
    K -->|*| P1
    K -->|*| P2
    P1 -->|*| K'
    P2 -->|*| K'

局部汇流性是稍弱的性质，仅要求当 $P_1$ 和 $P_2$ 能从 $K$ 经一步变换得到时，它们能变换为 $K’$，图表示为：

graph LR
    K -->|*| P1
    K -->|*| P2
    P1 -->|*| K'
    P2 -->|*| K'

当变换系统是终止的时，汇流性与局部汇流性等价。
- 局部 Church - Rosser 定理 ：对于图变换理论，确保某些推导汇流性的是并行独立变换的局部 Church - Rosser 定理。若对图 $K$ 应用两个规则 $p_1$ 和 $p_2$（匹配为 $o_1$ 和 $o_2$）时，没有一个应用会删除另一个规则匹配的元素，即存在态射 $d_{12}: L_1 \to D_2$ 和 $d_{21}: L_2 \to D_1$ 使图交换，则可对 $P_1$ 和 $P_2$ 应用这些规则得到 $K’$，图表示为：

graph LR
    K -->|k1| D1
    K -->|k2| D2
    D1 -->|c1| P1
    D2 -->|c2| P2
    P1 -->|p1, o'1| K'
    P2 -->|p2, o'2| K'
    L1 -->|o1| K
    L2 -->|o2| K
    L1 -->|d12| D2
    L2 -->|d21| D1

然而，并非所有变换对都是并行独立的，还需分析并行依赖的情况。
- 临界对的作用 ：使用临界对来检查（局部）汇流性的思路是，不必研究所有并行依赖的规则应用对，只需研究通过粘合每对规则的左侧图构建的一些最小情况。规则 $p_1$ 和 $p_2$ 的临界对是一对并行依赖的变换 $P_1 \xleftarrow{p_1, o_1} K \xrightarrow{p_2, o_2} P_2$，其中 $o_1$ 和 $o_2$ 是联合满射的。完整性引理表明，每个并行依赖的规则应用对都嵌入一个临界对，因此考虑这些情况的汇流性就足够了。但所有临界对的汇流性并非图变换系统局部汇流性的充分条件，还需更强的汇流性概念，即普通严格汇流性。对于临界对 $P_1 \xleftarrow{p_1, o_1} K \xrightarrow{p_2, o_2} P_2$，若存在推导 $P_1 \overset{ }{\Rightarrow} K’ \overset{ }{\Leftarrow} P_2$，且定义临界对的两个变换所保留的 $K$ 中的每个元素也被这两个推导保留，则该临界对是普通严格汇流的。对于普通规则，所有临界对的普通严格汇流性意味着图变换系统的局部汇流性。

3. 带嵌套应用条件的规则

嵌套应用条件的定义 ：嵌套应用条件（ACs）是对之前相关概念的推广。负（正）应用条件（NAC 或 PAC）是基于态射 $a: P \to C$ 定义的。一个态射 $m: P \to G$ 满足 $\neg \exists a$（$\exists a$），当且仅当不存在（存在）扩展 $m$ 的态射 $q: C \to G$。一个 AC 要么是特殊条件 true ，要么是 $\exists(a, ac_C)$ 或 $\neg \exists(a, ac_C)$ 的形式，其中 $ac_C$ 是 $C$ 上的附加 AC。
- 应用条件的归纳定义 ：
  - true 是图 $P$ 上的应用条件。
  - 对于每个态射 $a: P \to C$ 和 $C$ 上的每个应用条件 $ac_C$，$\exists(a, ac_C)$ 是 $P$ 上的应用条件。
  - 对于 $P$ 上的应用条件 $c, c_i$（$i \in I$），$\neg c$ 和 $\bigwedge_{i \in I} c_i$ 是 $P$ 上的应用条件。
- 态射满足应用条件的归纳定义 ：
  - 每个态射满足 true 。
  - 态射 $p: P \to G$ 满足 $\exists(a, ac_C)$（记为 $p \vDash \exists(a, ac_C)$），当且仅当存在单态射 $q$ 使得 $q \circ a = p$ 且 $q \vDash ac_C$。
  - 态射 $p: P \to G$ 满足 $\neg c$ 当且仅当 $p$ 不满足 $c$，满足 $\bigwedge_{i \in I} c_i$ 当且仅当它满足每个 $c_i$（$i \in I$）。
- 示例：
  - $\exists(1 \ 2 \hookrightarrow 1 \ 2)$ 表示从 1 的像到 2 的像有一条边。
  - $\exists(1 \hookrightarrow 1 \ 2, \forall(1 \ 2 \hookrightarrow 1 \ 2 \ 3, \exists(1 \ 2 \ 3 \hookrightarrow 1 \ 2 \ 3)))$ 表示对于节点 1 的像，存在一条出边，使得对于该出边目标的所有出边，目标有一个环。
规则与变换 ：带 AC 的规则 $\rho = \langle p, ac_L \rangle$ 由普通规则 $p = \langle L \xleftarrow{} I \hookrightarrow R \rangle$（其中 $I \hookrightarrow L$ 和 $I \hookrightarrow R$ 是单态射）和 $L$ 上的应用条件 $ac_L$ 组成。直接变换由两个推出（DPO）组成，匹配为 $m$，余匹配为 $m^ $，且 $m \vDash ac_L$。不考虑 AC 的直接变换 $G \Rightarrow_{\rho, m, m^ } H$ 同样由这两个推出组成，但 $m$ 不一定满足 $ac_L$。
电梯控制示例 ：以电梯控制为例，考虑用于建筑物的电梯控制类型，电梯应将人员从或运送到一个主停靠点。建筑物每层有一个呼叫电梯的按钮，电梯轿厢会在有内部停靠请求的楼层停靠，仅在下行模式下服务外部呼叫请求。电梯轿厢的方向在运行方向上还有剩余请求时不会改变，外部呼叫请求和内部停靠请求在电梯轿厢到达前不会删除。给出了电梯的类型图 $TG$，以及一个在该类型图上进行类型化的图 $G$，描述了一个四层建筑，电梯轿厢在二楼，处于下行模式，一楼有呼叫请求。还展示了三个带 AC 的图变换规则来模拟电梯控制：
- move down 规则：电梯轿厢向下移动一层，条件是下一层或其他更低层有请求，电梯所在楼层无请求，且电梯处于下行模式。
- stop request 规则：在某楼层发出内部停靠请求，条件是该楼层尚无停靠请求。
- process stop down 规则：处理某楼层的停靠请求，条件是电梯在该楼层且处于下行模式。
应用条件的转移 ：
- 应用条件在态射上的转移 ：存在一个变换 Shift ，对于每个应用条件 $ac_P$ 和态射 $b: P \to P’$，将 $ac_P$ 通过 $b$ 转换为 $P’$ 上的应用条件 $Shift(b, ac_P)$，使得对于每个态射 $n: P’ \to H$，有 $n \circ b \vDash ac_P \Leftrightarrow n \vDash Shift(b, ac_P)$。
- 应用条件在规则上的转移 ：存在一个变换 $L$，对于规则 $\rho$ 的 $R$ 上的每个应用条件 $ac_R$，将 $ac_R$ 通过 $\rho$ 转换为 $L$ 上的应用条件 $L(\rho, ac_R)$，使得对于每个直接变换 $G \Rightarrow_{\rho, m, m^ } H$，有 $m \vDash L(\rho, ac_R) \Leftrightarrow m^ \vDash ac_R$。

4. 临界对与完整性

并行独立性与依赖性 ：在使用带 AC 的规则时，并行独立性的概念不仅要求每个规则不删除另一个规则匹配的元素，还要求每个规则应用所定义的变换仍满足另一个规则应用的 AC。若一对直接变换 $H_1 \xleftarrow{\rho_1, o’ 1} G \xrightarrow{\rho_2, o’_2} H_2$ 存在态射 $d’ {12}: L_1 \to D’ 2$ 使得 $k’_2 \circ d’ {12} = o’ 1$ 且 $c’_2 \circ d’ {12} \vDash ac_{L_1}$，以及态射 $d’ {21}: L_2 \to D’_1$ 使得 $k’_1 \circ d’ {21} = o’ 2$ 且 $c’_1 \circ d’ {21} \vDash ac_{L_2}$，则这对变换是并行独立的。
弱临界对 ：给定规则 $\rho_1 = \langle p_1, ac_{L_1} \rangle$ 和 $\rho_2 = \langle p_2, ac_{L_2} \rangle$，$\langle \rho_1, \rho_2 \rangle$ 的弱临界对是一对不考虑 AC 的变换 $P_1 \xleftarrow{\rho_1, o_1} K \xrightarrow{\rho_2, o_2} P_2$，其中 $o_1$ 和 $o_2$ 是联合满射的。每个弱临界对在 $K$ 上诱导出两个 AC：
- 扩展 AC：$ac_K = Shift(o_1, ac_{L_1}) \land Shift(o_2, ac_{L_2})$。
- 冲突诱导 AC：$ac^ _K = \neg(ac^ {K, d {12}} \land ac^ {K, d {21}})$，其中 $ac^ {K, d {12}}$ 和 $ac^ {K, d {21}}$ 根据是否存在满足特定条件的态射 $d_{12}$ 和 $d_{21}$ 来定义。
  这两个 AC 用于刻画 $K$ 的扩展可能导致汇流冲突的情况。若 $m: K \to G$ 且 $m \vDash ac_K$，则 $m \circ o_1$ 和 $m \circ o_2$ 是 $p_1$ 和 $p_2$ 的两个匹配，满足它们相关的 AC。若这两个规则应用在不考虑 AC 时是并行独立的，那么 $ac^ _K$ 就是确保考虑 AC 时这两个应用是并行依赖的条件。
临界对 ：$\langle \rho_1, \rho_2 \rangle$ 的临界对是一个弱临界对 $P_1 \xleftarrow{\rho_1, o_1} K \xrightarrow{\rho_2, o_2} P_2$，在 $K$ 上诱导出 AC $ac_K$ 和 $ac^ _K$，且存在单态射 $m: K \to G$ 使得 $m \vDash ac_K \land ac^ _K$，并且 $m_i = m \circ o_i$（$i = 1, 2$）满足粘合条件。这个新的临界对概念与带 NAC 的规则的临界对概念不同，即使所有 AC 都是 NAC，当前的临界对概念也与之前的定义不完全相同，但在某种程度上是等价的。

综上所述，研究带嵌套应用条件规则的局部汇流性对于理解和分析图变换系统的行为至关重要。通过引入临界对的概念，可以更有效地检查系统的局部汇流性，尤其是在处理并行依赖的规则应用时。电梯控制的示例展示了如何将这些理论应用于实际问题，为进一步的研究和应用提供了参考。

带嵌套应用条件规则的局部汇流性解析

5. 弱临界对示例分析

以电梯系统中的规则为例，进一步理解弱临界对的概念。考虑图 3 中带 AC 的直接变换对 $H_1 \xleftarrow{\rho_1, m_1} G \xrightarrow{\rho_2, m_2} H_2$，这两个变换在不考虑 AC 时是普通并行独立的，但考虑 AC 时是并行依赖的。因为 stop request 规则会在电梯所在楼层添加一个停靠请求，而这违反了 move down 规则的 AC，导致 move down 规则无法应用于 $H_2$。

对于 move down 和 stop request 规则，其弱临界对 $P_1 \xleftarrow{} K \xrightarrow{} P_2$ 嵌入在上述并行依赖变换中，此时 $K$ 与 move down 规则的左侧图相同。需要注意的是，这个弱临界对是由不考虑 AC 的变换组成的，例如 move down 规则的 $ac_L$ 在 $K$ 中不满足，因为像 PAC $\exists pos3$ 就不被 $o_1 = id_L$ 满足。

弱临界对的扩展条件 $ac_K$ 如图 4 所示，它等于 move down 规则的 AC 与 $\nexists neg2$ 的合取，其中 $\nexists neg2$ 是由 stop request 规则的 NAC 通过态射 $o_2$ 转移得到的。冲突诱导 AC $ac^ _K$ 的计算较为复杂，但对于每个单态扩展态射，它等价于 true ，因为它包含一个形式为 $\exists id_K$ 的 PAC。这意味着嵌入该临界对的任何变换对 $H_1 \xleftarrow{} G \xrightarrow{} H_2$ 都是并行依赖的，因为相应的扩展会自然满足 $ac^ _K$。

6. 临界对与局部汇流性的关系

根据 $ac_K$ 和 $ac^ _K$ 的定义，可以证明扩展 $m: K \to G$ 满足 $ac_K$ 和 $ac^ _K$ 当且仅当变换 $H_1 \xleftarrow{\rho_1, m \circ o_1} G \xrightarrow{\rho_2, m \circ o_2} H_2$ 是并行依赖的。这表明没有满足 $ac_K$ 和 $ac^*_K$ 的扩展 $m$ 的弱临界对对于检查局部汇流性是无用的。

临界对的概念正是基于这一事实提出的，它是一个弱临界对，并且存在一个单态射 $m: K \to G$ 使得 $m \vDash ac_K \land ac^*_K$，同时 $m_i = m \circ o_i$（$i = 1, 2$）满足粘合条件。这个新的临界对概念与带 NAC 的规则的临界对概念有所不同。即使所有的 AC 都是 NAC，当前的临界对概念也与之前的定义不完全一致，不过在某些方面是等价的。

7. 总结与实际应用

带嵌套应用条件规则的局部汇流性研究在图变换系统中具有重要意义。通过引入临界对的概念，我们可以更有效地检查系统的局部汇流性，特别是在处理并行依赖的规则应用时。以下是对整个研究内容的总结表格：
| 概念 | 定义 | 作用 |
| ---- | ---- | ---- |
| 汇流性 | 若图 $K$ 能变换为 $P_1$ 和 $P_2$，且 $P_1$ 和 $P_2$ 能变换为 $K’$，则系统汇流 | 确保变换系统的函数性行为 |
| 局部汇流性 | 当 $P_1$ 和 $P_2$ 能从 $K$ 经一步变换得到时，它们能变换为 $K’$ | 稍弱的汇流性性质 |
| 局部 Church - Rosser 定理 | 对于并行独立的规则应用，可得到共同的结果图 $K’$ | 确保某些推导的汇流性 |
| 临界对 | 一对并行依赖的变换，满足特定条件 | 用于检查局部汇流性 |
| 嵌套应用条件（ACs） | 推广的应用条件，有多种形式 | 限制规则的应用 |
| 应用条件的转移 | 通过 Shift 和 $L$ 变换实现 | 方便处理应用条件 |

在实际应用中，如电梯控制示例所示，我们可以将这些理论应用于解决具体问题。以下是使用这些理论进行电梯控制规则分析的流程：

graph TD
    A[定义电梯控制规则及 AC] --> B[确定规则的并行独立性]
    B --> C[找出弱临界对]
    C --> D[计算弱临界对的 ac_K 和 ac^*_K]
    D --> E[判断是否存在满足条件的扩展 m]
    E --> F{是临界对?}
    F -- 是 --> G[分析临界对的汇流性]
    F -- 否 --> C
    G --> H[得出电梯控制规则的局部汇流性结论]

通过这个流程，我们可以系统地分析电梯控制规则的局部汇流性，确保电梯系统的正常运行。同时，这种分析方法也可以推广到其他类似的图变换系统中，为相关领域的研究和开发提供有力的支持。

总之，带嵌套应用条件规则的局部汇流性研究为图变换系统的分析和设计提供了重要的理论基础和实用方法，有助于解决实际应用中的复杂问题。未来，我们可以进一步探索如何优化这些方法，提高分析效率，以及将其应用到更多不同类型的系统中。