15、混合整数规划启发式算法的在线学习调度

混合整数规划启发式算法的在线学习调度

1. 引言

现实世界中的许多问题都可以建模为混合整数规划（MIP）问题。为了高效求解 MIP 问题，通常会使用分支定界（B&B）框架，它将优化问题分解为更小、更易处理的子问题。不过，B&B 过程涉及多种决策，会显著影响求解行为，因此机器学习（ML）在该领域的应用受到了关注，比如用于寻找良好的求解器参数、改进节点和变量选择、割平面选择以及检测可分解结构等。

B&B 的目标是求解 MIP 问题至全局最优，但实际中往往无法等待找到最优解，因此尽早找到可行解很重要。原启发式算法在这方面起着关键作用，有研究表明，启发式算法平均能将原界提高 80%，求解时间缩短 30%。

然而，原启发式算法虽然强大，但成本可能很高，所以在实际应用中需要策略性地应用它们。通过在异构基准集上进行经验测试得出的硬编码规则来控制启发式算法的行为，会导致策略在各种实例上的平均表现较好，但由于启发式算法的性能高度依赖于具体实例，这种方法可能导致次优行为。

本文提出了一种在线学习方法，用于在 B&B 中控制原启发式算法。将启发式选择建模为多臂老虎机问题，并利用启发式算法行为的过去观察结果，实时学习哪些启发式算法最有可能成功。具体控制了大邻域搜索（LNS）和跳水（Diving）这两类显著不同且复杂的启发式算法。

2. 背景

• 混合整数问题 ：MIP 是形如 $\min_{x} c^T x$，满足 $Ax \leq b$，$x_i \in Z$，$i \in I$ 的优化问题，其中 $A \in R^{m\times n}$，$b, c \in