世界杯（数学理解）

理解题目意思：就是说这n家公司分别给出的三种赔率是一定的，但是你可用决定你去哪家公司投钱，投哪种情况，当满足一定数量关系的时候就一定不会赔钱。

预备知识

在博彩场景下，套利原理基于数学期望和概率的概念，下面从数学计算和投注策略的角度，为你详细解释为什么当赔率的倒数之和小于 1 时存在必赢策略：

1. 赔率与收益的基本关系

假设我们对一场足球比赛进行投注，有三个可能的结果：主队胜、平局、主队负，对应的赔率分别为 \(w\)（win）、\(d\)（draw）、\(l\)（lose） 。赔率的含义是，如果投注金额为 \(1\) 元，且预测结果正确，将获得的总金额（本金 + 盈利）。例如赔率 \(w = 1.5\) ，投注 \(1\) 元猜对主队胜，最终会得到 \(1.5\) 元，盈利 \(0.5\) 元。

2. 投注策略构建

设我们在主队胜、平局、主队负上分别投注的金额为 \(x\)、\(y\)、\(z\)，且总投注金额 \(M = x + y + z\) 。

• 如果比赛结果是主队胜，我们获得的收益是 \(xw\) ，净盈利为 \(P_1 = xw - M\) 。

• 如果比赛结果是平局，我们获得的收益是 \(yd\) ，净盈利为 \(P_2 = yd - M\) 。

• 如果比赛结果是主队负，我们获得的收益是 \(zl\) ，净盈利为 \(P_3 = zl - M\) 。

3. 从数学角度推导存在套利的条件

我们希望无论比赛结果如何，都能保证盈利，也就是 \(P_1 > 0\)，\(P_2 > 0\)，\(P_3 > 0\) 。

从另一个角度看，我们可以假设投注比例，设投注在主队胜、平、负上的资金占总投注金额的比例分别为 \(p = \frac{x}{M}\)，\(q = \frac{y}{M}\)，\(r = \frac{z}{M}\) ，且 \(p + q + r = 1\) 。

• 当主队胜时，盈利 \(P_1 = M(pw - 1)\) ，要使 \(P_1>0\)，则 \(pw > 1\)，即 \(p > \frac{1}{w}\) 。

• 当平局时，盈利 \(P_2 = M(qd - 1)\) ，要使 \(P_2>0\)，则 \(qd > 1\)，即 \(q > \frac{1}{d}\) 。

• 当主队负时，盈利 \(P_3 = M(rl - 1)\) ，要使 \(P_3>0\)，则 \(rl > 1\)，即 \(r > \frac{1}{l}\) 。

如果同时满足 \(p > \frac{1}{w}\)，\(q > \frac{1}{d}\)，\(r > \frac{1}{l}\) ，并且 \(p + q + r = 1\) ，那么就需要 \(\frac{1}{w} + \frac{1}{d} + \frac{1}{l} < 1\) 。因为只有当 \(\frac{1}{w} + \frac{1}{d} + \frac{1}{l} < 1\) 时，才能够找到合适的正数 \(p\)、\(q\)、\(r\) 满足上述条件，从而无论比赛结果是胜、平还是负，都能保证盈利。

4. 举例说明

假设一家博彩公司给出某场比赛主队胜赔率 \(w = 3\)，平局赔率 \(d = 3\)，主队负赔率 \(l = 3\) ，此时 \(\frac{1}{w} + \frac{1}{d} + \frac{1}{l} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1\) ，不管怎么分配投注金额，都无法保证必赢。

但如果 \(w = 4\)，\(d = 4\)，\(l = 4\) ，则 \(\frac{1}{w} + \frac{1}{d} + \frac{1}{l} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} < 1\) 。我们可以选择在主队胜、平、负上分别投注总金额的 \(\frac{1}{3}\) ，即 \(p = q = r=\frac{1}{3}\) 。

• 若主队胜，收益为 \(\frac{1}{3}×4 = \frac{4}{3}\) ，盈利为 \(\frac{4}{3}- 1 = \frac{1}{3}\) 。

• 若平局，收益为 \(\frac{1}{3}×4 = \frac{4}{3}\) ，盈利为 \(\frac{4}{3}- 1 = \frac{1}{3}\) 。

• 若主队负，收益为 \(\frac{1}{3}×4 = \frac{4}{3}\) ，盈利为 \(\frac{4}{3}- 1 = \frac{1}{3}\) 。

所以，在博彩中，当 \(\frac{1}{w} + \frac{1}{d} + \frac{1}{l} < 1\) 时，就存在必赢的投注策略，这就是博彩套利原理的本质。

#include <stdio.h>
int main()
{
     int T,n;
     double w,d,l,Maxw,Maxd,Maxl;
     scanf("%d",&T);
     while (T--)
     {
        Maxw = Maxd = Maxl = 0;         
        scanf("%d",&n);
        for (int i = 0; i < n; i ++)
        {
            scanf("%lf %lf %lf",&w,&d,&l);
            if (w > Maxw)      
                 Maxw = w;
            if (d > Maxd)
                 Maxd = d;
            if (l > Maxl)
                 Maxl = l;
        }
        if (1/Maxw + 1/Maxd + 1/Maxl < 1)  
        printf("Yes\n");
        else
        printf("No\n");
    }
    return 0;
 }