四则运算与取模运算-费马小定理

废话

某天，你开始快乐地刷题，忽然看到了这么一行：

答案可能很大，请输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

你开始不以为然，但随后立即瞪大了眼睛：
这道题里，居然有除法！

正文开始

加减

加减法+取模其实很好做。公式如下 (使用 $\%$ 代替取模运算，下同)：
$$(a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p$$
具体是为什么呢？我们来看看
令 $a=xp+c,b=yp+d$ , 其中 $x,y,c,d$ 均为整数，且 $c<p,d<p$。
那么
$$\begin{array}{rl}a+b& =xp+c+yp+d\\ & =p(x+y)+(c+d)\end{array}$$
所以 $(a+b)\%p=(c+d)$
又因为$a\%p=c,b\%p=d$，
所以 $(a+b)\%p=a\%p+b\%p$
但是这里要注意一点，虽然 $c\le p,d\le p$，但是 $c+d$ 还是可能 $\ge p$ 的，所以最后的结果还要再模一次p。