四则运算与取模运算-费马小定理

废话

某天,你开始快乐地刷题,忽然看到了这么一行:

答案可能很大,请输出答案对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 取模的结果。

你开始不以为然,但随后立即瞪大了眼睛:
这道题里,居然有除法!

正文开始

加减

加减法+取模其实很好做。公式如下 (使用 % \% % 代替取模运算,下同):
( a + b )   %   p = (   a   %   p + b   %   p )   %   p (a+b)\ \%\ p=(\ a\ \%\ p+b\ \%\ p)\ \%\ p (a+b) % p=( a % p+b % p) % p
具体是为什么呢?我们来看看
a = x p + c , b = y p + d a=xp+c, b=yp+d a=xp+c,b=yp+d , 其中 x , y , c , d x, y,c,d x,y,c,d 均为整数,且 c < p , d < p c<p,d<p c<p,d<p
那么
a + b = x p + c + y p + d = p ( x + y ) + ( c + d ) \begin{split} a+b&=xp+c+yp+d\\ &=p(x+y)+(c+d) \end{split} a+b=xp+c+yp+d=p(x+y)+(c+d)
所以 ( a + b ) % p = ( c + d ) (a+b)\%p=(c+d) (a+b)%p=(c+d)
又因为 a % p = c , b % p = d a\%p=c,b\%p=d a%p=c,b%p=d
所以 ( a + b ) % p = a % p + b % p (a+b)\%p=a\%p+b\%p (a+b)%p=a%p+b%p
但是这里要注意一点,虽然 c ≤ p , d ≤ p c\le p,d\le p cp,dp,但是 c + d c+d c+d 还是可能 ≥ p \ge p p 的,所以最后的结果还要再模一次p。

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