LCS算法（文本相似度计算）

LCS，Longest Common Subsequenc，最长公共子序列，子序列在原序列中可以不连续，但必须先后顺序保持一致。例如ABCD中，BD是一个子序列，DB不是。

LCS常被用来计算文本相似度，其中的一种相似度计算方式：

这种计算方式的优点是可以平衡两文本长度差异，更公平。

1.dp

def lcs(s1, s2):
    """
    定义状态：dp[i][j]表示s1前i个字符和s2前j个字符的最长公共子序列
    得到两种情况下的转移方程：
        1) s1[i-1]=s2[j-1]: 此时 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
        2) s1[i-1]≠s2[j-1]: 此时 dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    	当i=0或j=0时，前i或前j个字符空字符串，所以最长子序列长度都为0
    :param s1:
    :param s2:
    :return:
    """
    s1, s2 = ' ' + s1, ' ' + s2  # 添加占位符方便下标计算
    len_s1, len_s2 = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * len_s2] * len_s1
    for i in range(len_s1):
        for j in range(len_s2):
            if i * j == 0:
                continue
            if s1[i] == s2[j]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    return dp[-1][-1], dp[-1][-1] * 2 / (len_s1 + len_s2)  # 返回lcs长度和相似度


if __name__ == '__main__':
    addr1 = '北京市海淀区西北旺路10号'
    addr2 = '北京海淀西北旺路附近'
    print(lcs(addr1, addr2))

# (8, 0.64)

这种实现方式需要双重循环遍历两个序列，所以时间复杂度和空间复杂度都是O(mn)，m、n为两个序列的长度。

2.dp（单数组优化）

主要针对空间复杂度进行优化，上面实现方式构建的dp数组是m x n，可以通过下面单数组优化的方式将空间复杂度降到O(min(m, n))。

实现中以短文本的长度构建数组，外层循环遍历长文本，内层循环遍历短文本。下面代码为了方便没有做这个逻辑处理，空间复杂度是O(len(s2))。

def lcs(s1, s2):
    """
    原来的二维数组的更新方式是从左到右，从上到下。、
    将这个二维数组想象成一个矩阵，每次更新一个dp[i][j]时，只参考了三个位置的值：
        1) dp[i-1][j-1]: 左上位置
        2) dp[i][j-1]: 左边位置
        3) dp[i-1][j]: 上方位置
    因此，只需要这个矩阵中j所在的数组长度就可以替代二维数组。
    定义dp[j]为s1与s2前j个元素的最长子序列长度，则没i轮迭代中dp[j]的值表示s1前i个字符和s2中前j个字符的最长子序列长度。
    因为数组是从左往右覆盖更新，因此：1) dp[j]=dp[i-1][j]    2) dp[j-1]=dp[i][j-1]
    此时只需要解决dp[i-1][j-1]位置的元素获取。
    设这个变量名left_up，每次外层循环初始为0，表示内层遍历的文本长度为0时的最长子序列长度。
    内层循环中，dp[j]在更新之前表示dp[i-1][j]，因此只需要在每次dp[j]更新后将更新之前的dp[j]赋值给left_up，
    这样在下一个j的循环中left_up其实就是dp[i-1][j-1]，也就是当前位置的左上角元素。
    :param s1:
    :param s2:
    :return:
    """
    s1, s2 = ' ' + s1, ' ' + s2
    len_s1, len_s2 = len(s1), len(s2)
    dp = [0] * len_s2
    for i in range(len_s1):
        left_up = 0
        for j in range(len_s2):
            temp = dp[j]
            if i * j == 0:
                continue
            if s1[i] == s2[j]:
                dp[j] = left_up + 1
            else:
                dp[j] = max(dp[j - 1], dp[j])
            left_up = temp
    return dp[-1], dp[-1] * 2 / (len_s1 + len_s2)  # 返回lcs长度和相似度


if __name__ == '__main__':
    addr1 = '北京市海淀区西北旺路10号'
    addr2 = '北京海淀西北旺路附近'
    print(lcs(addr1, addr2))

# (8, 0.64)