16、精确加权独立集问题

精确加权独立集问题

1. 引言

精确加权独立集问题（Exact Weighted Independent Set, EWIS）是一个经典的组合优化问题，它在图论和计算复杂性理论中占据着重要地位。该问题不仅在理论上具有挑战性，而且在实际应用中也有广泛的需求。本文将详细介绍EWIS问题的基本定义、性质、求解方法及其在不同类型图上的表现。

2. 问题定义与初步观察

2.1 问题定义

给定一个带权无向图 ( G = (V, E) ) 和一个权重函数 ( w: V \to \mathbb{Z} )，EWIS问题的目标是在图 ( G ) 中找到一个独立集 ( I \subseteq V )，使得 ( \sum_{v \in I} w(v) = b )，其中 ( b ) 是给定的整数。独立集是指图中任意两个顶点之间没有边相连的顶点集合。

2.2 初步观察

EWIS问题对于任何包含边空图 ( {K_n : n \geq 0} ) 的图类都是弱NP完全的。这可以通过将EWIS问题转化为子集和问题（Subset Sum Problem）来证明，后者是已知的NP完全问题。子集和问题定义如下：给定 ( n ) 个整数 ( a_1, a_2, …, a_n ) 和一个整数 ( b )，确定是否存在一个子集 ( J \subseteq {1, 2, …, n} ) 使得 ( \sum_{i \in J} a_i = b )。

因此，对于给定的图类 ( \mathcal{G} )，我们关心的是EWIS问题是否为强NP完全问题，或者是否存在伪多项式时间算法。

3. EWIS问题的性质