8、信号与图像变换中的多种变换方法详解

信号与图像变换中的多种变换方法详解

在信号处理和图像处理领域，有多种重要的变换方法，这些方法在数据处理、特征提取、图像压缩等方面发挥着关键作用。下面将详细介绍傅里叶变换、离散余弦变换、沃尔什 - 哈达玛变换以及卡尔胡宁 - 勒维变换（主成分分析）等方法。

傅里叶变换

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要工具，在信号和图像处理中应用广泛。

一维矩形函数的傅里叶变换

对于矩形函数，其傅里叶变换可以通过积分计算得出：
[
\int_{-\infty}^{+\infty} rect(\frac{x}{5}) \exp[-j2\pi\omega x] dx = \frac{\sin(\omega)}{\omega}
]
这个结果被称为 sinc 函数。

二维傅里叶变换

将一维傅里叶变换的概念扩展到二维，连续函数 ( f(x, y) ) 的二维傅里叶变换表示为：
[
F(\omega, \varphi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \exp [-j 2\pi (\omega x + \varphi y)] dy dx
]
当二维函数 ( f(x, y) ) 与 ( \exp [-j 2\pi (\omega x + \varphi y)] ) 相乘时，使用欧拉公式可以将指数函数分解，这意味着 ( f(x, y) ) 实际上是与 ( \cos (2 \pi \omega x) \cos (2 \pi \varphi y) )、( \sin (2 \p