9、无覆盖族的构造与应用

无覆盖族的构造与应用

1. 最优无覆盖族

计算 $N((s, t), T )$ 的值是困难的，但一些参数较小的无覆盖族被证明是最优的。在某些情况下，本节开头给出的平凡解就是最优解。例如，当 $T \leq s + t + \frac{t}{s}$ 或 $T \leq \frac{(t + 1)s}{s - 1} - \frac{36t}{s - 1}$ 时，$N((s, t), T ) = \left\lfloor\frac{T}{s}\right\rfloor$，这意味着平凡解是最优解。以下是一些最优无覆盖族的示例：
| $T$ | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 - 12 | 16 - 20 |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| $N((1, 2), T)$ | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 9 | 9 | |
| $N((1, 3), T)$ | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 - 12 | 16 |
| $N((2, 2), T)$ | 10 | 14 | 14 | 14 | 18 | 18 - 20 | 20 - 22 | 22 - 26 |
| $N((2, 3), T)$ | 10 | 15 | 21 | 24 - 28 | 26 - 30 | 30 | 33 - 45 | 45 - 48 |

2. 无覆盖族的构造方法

2.1 基于纠错码的构造

使用纠错码是构造无覆盖族的一种好方法。设 $Y$ 是一个包含 $q$ 个元素的字母表，一个 $(n, T, d, q)$ 码是 $Y^