3、分布式计算中的图论与任务可解性

分布式计算中的图论与任务可解性

1. 分布式计算中的拓扑与图论基础

在分布式计算领域，拓扑方法与图论有着紧密的联系。拓扑方法最初源于Fischer、Lynch和Paterson的研究，他们证明了即使只有一个进程可能崩溃，也不存在容错的消息传递协议来解决共识任务，这与协调攻击问题密切相关。而将图论引入分布式计算，为解决和分析任务可解性提供了有力的工具。

1.1 图的基本定义

图的定义是理解后续内容的基础。一个图是由一个有限集 $S$ 以及 $S$ 的子集的集合 $G$ 组成，需满足以下条件：
- 若 $X \in G$，则 $|X| \leq 2$；
- 对于所有 $s \in S$，有 ${s} \in G$；
- 若 $X \in G$ 且 $Y \subset X$，则 $Y \in G$。

$G$ 中的元素被称为图的单纯形（simplex），单纯形 $\sigma$ 的维度为 $|\sigma| - 1$。零维单纯形是图的顶点（vertex），一维单纯形是图的边（edge）。我们用 $V(G)$ 表示图 $G$ 的顶点集，用 $E(G)$ 表示图 $G$ 的边集。顶点若不属于任何边，则称为孤立顶点。图若要么每个顶点都属于边，要么都不属于边，则称为纯图，前者为一维纯图，后者为零维纯图。

1.2 图的着色与标记

图的着色和标记是对图进行进一步刻画的方式。对于图 $G$，给定一个集合 $C$，着色函数 $\chi : V(G) \to C$ 需满足对于图 $G$ 的每条边 ${s_0, s_1}$，有 $\chi(s_0) \neq \chi(s_1)$。若图配备了这样的着色函数，则