18、偏微分方程数值解法：有限差分法及相关应用

偏微分方程数值解法：有限差分法及相关应用

1. 有限差分法中的矢量化

在数值计算中，为了提高代码的运行速度，常常会使用矢量化表达式来替代数组的循环操作。例如，在计算右侧项时，原本的循环代码如下：

for i = 2:N
    rhs(i) = (beta/dx^2)*(u(i+1) - 2*u(i) + u(i-1)) + g(x(i), t); 
end

可以将其替换为矢量化表达式。我们想要一次性设置所有内部点，即 rhs(2:N) 。当循环索引 i 从 2 到 N 时， u(i+1) 项将覆盖所有内部 u 值向右移动一个索引，即 u(3:N+1) ； u(i-1) 对应所有内部 u 值向左移动一个索引，即 u(1:N-1) ；而 u(i) 与 rhs 具有相同的索引，即 u(2:N) 。因此，矢量化循环可以写成如下切片形式：

rhs(2:N) = (beta/dx^2)*(u(3:N+1) - 2*u(2:N) + u(1:N-1)) + g(x(2:N), t);

这种重写方式可以使代码速度提高约 10 倍。完整代码可在