17、常微分方程与偏微分方程的数值求解方法

常微分方程与偏微分方程的数值求解方法

1. 常微分方程练习

在常微分方程的学习中，有几个重要的练习值得关注。
- 练习 4.17：实现向后欧拉方法
- 需要实现向后欧拉方法来求解每个时间层的线性系统。可以自己从头开始实现，也可以使用 Odespy（具体为 odespy.BackwardEuler）。
- 该方法与向前欧拉方法不同，向后欧拉方法会导致显著的非物理阻尼。即使每个周期有 60 个时间步，经过几个周期后结果也可能变得无用。相关文件名：osc_BE.m。
- 练习 4.18：为非线性和阻尼振荡建立向前欧拉方案
- 为 ODE 系统 (4.68) - (4.69) 推导向前欧拉方法。
- 将该方法与第 4.3.11 节中滑动摩擦问题的欧拉 - 克罗默方案进行比较，具体比较内容如下：
1. 向前欧拉方案是否会使振幅增大？
2. 振荡周期是否准确？
3. 两种方法的曲线在视觉上重合所需的时间步长是多少？相关文件名：osc_FE_general.m。
- 练习 4.19：离散化初始条件
- 假设在有限差分方法中，u’ 的初始条件不为零，即 u’(0) = V₀。推导这种情况下 u₁ 的特殊公式。相关文件名：ic_with_V_0.pdf。

2. 偏微分方程概述

偏微分方程（PDEs）是一个庞大且重要的主题，许多自然和技术现象都可以通过这类方程进行数学建模。对于工程师来说，掌握一些偏微分方程的求解方法至关重要。这里我们主要关注最常见的偏微分方程之一：扩散方程。