9、数值积分计算与测试的全面解析

数值积分计算与测试的全面解析

1. 积分计算误差与收敛率

数值积分方法，如梯形法和中点法，通常存在误差，且该误差会随着区间数量 (n) 的变化而收敛到零，收敛速度 (p) 取决于具体的方法。即便我们不清楚实际的近似误差是多少，但只要知道误差的收敛率，就可以通过对不同的 (n) 值运行算法来测量预期的收敛率，判断是否达到理论值。

为了进行单元测试，我们可以基于收敛率开发更精确的方法。假设误差 (E) 与 (n) 的关系为 (E = Cn^r)，其中 (C) 是未知常数，(r) 是收敛率。对于一组不同 (n) 值的实验 (n_1, n_2, \cdots, n_q)，计算相应的误差 (E_1, E_2, \cdots, E_q)。对于连续的两次实验 (i) 和 (i - 1)，有误差模型：
[
\begin{cases}
E_i = Cn_i^r \
E_{i - 1} = Cn_{i - 1}^r
\end{cases}
]
通过两式相除消去 (C)，可求解出 (r)。由于 (r) 的估计值会随 (i) 变化，我们引入下标 (i) 表示 (r_i)。随着区间数量的增加，(r_i) 有望趋近于正确的收敛率。

下面是计算收敛率的代码示例：

function r = convergence_rates(f, F, a, b, num_experiments)
    n = zeros(num_experiments, 1);
    E = zeros(num_experiments, 1);
    r = zeros(num_exp