5、子集选择任务中的交叉算子研究

子集选择任务中的交叉算子研究

1. 子集选择问题基础

在子集选择问题中，有一个重要的公式：
[C(x_i) = \beta(x_i) + I(x_i) \quad (1.7)]
其中，(\beta(x_i)) 是 (x_i) 的基础适应度贡献，而 (I(x_i)) 是交互适应度贡献，其计算公式如下：
[I(x_i) =
\begin{cases}
\sum_{j = 1}^{|\Theta|} \psi(x_i, x_j) & \text{if } x_j \in \theta \text{ and } i \neq j \
0 & \text{otherwise}
\end{cases} \quad (1.8)]
这里，(\psi(x_i, x_j)) 在 (x_i) 和 (x_j) 都在 (\theta) 中时返回交互贡献。在生成这类问题时，(\beta(x_i)) 的值会在 ([-10, 0]) 范围内随机设定，同时会无放回地随机选择 (k) 个其他的 (x_j) 元素，并将 (\psi(x_i, x_j)) 的值设定在 ([0, 10]) 范围内。对于 (k) 个交互值，(\psi(x_j, x_i)) 的交互值也会从相同范围中选取。这意味着如果元素 (x_i) 与元素 (x_j) 相互作用，总会有一个反向的交互值，但不一定相等。由于这种反向值的设定方式，某些元素可能会有超过 (k) 个交互元素，所以 (k) 现在是交互元素的最小数量。目标是找到这样的子集：其元素不仅基础值低，而且交互元素少且惩罚低。对于 (k > 0) 的随机子集选择问题，其最优（最小）值通常是未知的。

2. 选择位表示