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本文综述了拓扑数据分析在科学可视化中的前沿挑战与最新进展，重点探讨了双变量数据和不确定数据带来的新挑战。针对不确定数据，介绍了强制临界点的刻画与提取算法及其在可视化中的应用。文章还总结了当前在拓扑抽象、交互编辑和领域分析方面的成熟应用，并指出了未来研究方向，包括低概率特征分析、集合数据拓扑分类以及算法在新硬件和软件环境下的优化，展现了拓扑数据分析技术的演进路径与发展前景。

本文探讨了拓扑数据分析在新兴硬件、软件和交互约束下的挑战与机遇，介绍了在轮廓树、Reeb图和Reeb空间计算方面的初步成果，提出了面向多元数据的纤维表面新概念及其应用。文章还总结了当前在并行化、渐进式计算和原位数据缩减等方面的进展，并展望了未来在算法优化、新兴数据类型处理、交互式探索增强及跨领域应用的研究方向。

本文介绍了基于拓扑数据分析的分子相互作用定量分析方法，重点阐述了从Morse-Smale复合体中构建键合图的流程，包括去除低持久性结构、非原子极小值和非键合鞍点，并提取共价与非共价相互作用。通过排斥键环计算实现了空间排斥的量化分析，在吡哆醇、DNA双螺旋等系统中验证了方法的有效性。文章进一步探讨了拓扑数据分析在ExaScale计算时代面临的挑战，如数据维度扩展、算法优化和跨领域应用，并展望了其在复杂分子系统、多尺度建模和动态过程研究中的潜力。

本文介绍了一种基于带符号电子密度（Qρ）和约化梯度（s）的分子相互作用定量分析方法，旨在有效提取和表征分子系统中的共价与非共价相互作用。针对传统电子密度难以捕捉弱相互作用的问题，文章引入Qρ和s作为关键标量场，并结合Morse-Smale复形与连接树J(s)进行拓扑分析。通过定义原子、键路径、键图和排斥键环等特征，系统化构建分子相互作用模型。重点解决了低持久性结构、非原子极小值和非键鞍点等技术挑战，提出基于持久性的拓扑简化策略，并利用乙二醇分子案例确定最优简化水平。最终实现从s的连接树中提取并简化相互作用位

本文提出了一种基于分层分裂树的湍流燃烧模拟分析方法，通过数据分割、特征跟踪和跟踪图简化实现大规模数据降维，为应用科学家提供交互式探索与定量分析的框架。该方法有效解决了传统依赖单一阈值识别燃烧区域的局限性，支持对火焰几何形状的精确描述与动态演化分析。结合交互式界面，用户可直观探索燃烧单元属性、优化燃料消耗率阈值，并揭示火焰燃烧模式与细胞大小分布规律。该方法在湍流燃烧领域展现出显著优势，并可拓展至气象学、生物学等多个科学领域，具有广阔的应用前景。

本文介绍了基于Reeb图的表面分割与参数化方法及其交互式编辑框架，通过构建Reeb图集实现对三维曲面的拓扑控制与几何优化，支持图表边界、数量、鞍点对齐及角点的精细编辑，有效提升四边形网格划分质量。同时，将该方法应用于湍流燃烧模拟分析，结合分层分裂树的数据抽象技术，处理高达8.4TB的大规模模拟数据，在显著降低数据量的同时保留关键特征信息，支持交互式探索与定量验证。研究展示了在低旋流喷射器火焰不稳定性分析中的应用潜力，并展望了其在燃烧优化、科学可视化及其他领域的发展前景。

本文介绍了科学可视化中拓扑抽象的两种交互式编辑方法：Morse-Smale复形编辑和Reeb图编辑。前者通过符合用户约束的离散梯度向量场实现对特征分割的修正，适用于存在假阴性问题的生物医学图像分析；后者基于调和标量场与Reeb图结构，支持用户控制四边形图表的数量、边界几何形状及角点拓扑特性，适用于表面网格生成。两种方法均融合了用户先验知识，提升了自动分割的准确性与可控性，并探讨了未来在交互效率与应用扩展方面的研究方向。

本文介绍了一种高效的Reeb图计算算法，基于循环手术思想将Reeb图计算转化为轮廓树计算，显著提升了三维四面体网格下的计算性能。通过无环Reeb图构建与逆切割操作，实现了近乎线性可扩展的实际表现，并在机械设计压力场分析和大规模数值模拟监测中展示了强大的拓扑简化与可视化应用能力。文章还分析了算法的时间复杂度、性能优势及局限性，并展望了其在高维与非嵌入网格中的扩展潜力。该技术为科学数据的拓扑结构提取与交互式探索提供了高效、实用的解决方案。

本文介绍了一种高效的体积网格Reeb图计算方法，核心思想是通过‘环手术’将Reeb图计算问题转化为无环情况下的轮廓树计算问题，从而利用具有最优复杂度的join-split算法实现高效求解。文章详细阐述了环的存在性与边界亏格的关系、环手术的操作流程、无环Reeb图的判定条件，并给出了完整的算法步骤与复杂度分析。该方法在医学图像处理、形状识别等领域具有广泛应用前景。

本文介绍了一种高效的标量场拓扑简化算法和一种适用于体网格的高效Reeb图计算方法。拓扑简化算法通过交替进行子水平集与超水平集重建，结合符号到数值的扰动转换，在保持L₁范数接近最优的同时实现临界点的自动移除，具有O(n log n)的实际时间复杂度。Reeb图算法基于环手术理论，利用符号切割将域转化为无环结构，再通过轮廓树算法计算并逆操作恢复原始Reeb图，显著提升了计算效率。两类算法均具备良好的通用性和实用性，广泛应用于地形分析、数据分割等领域，但在高维数据处理方面仍面临挑战。未来可结合机器学习技术拓展应用

本文介绍了一种高效的标量场拓扑简化方法，基于子水平集和超水平集的约束重建算法，能够在保持用户指定极值点的同时，自动移除不必要的鞍点和残余极值点。该方法适用于闭曲面和有边界曲面，具有通用性、高效性、鲁棒性和最优性，广泛应用于科学可视化、数据压缩和图像处理等领域。通过交替迭代子水平集与超水平集重建过程，算法快速收敛，确保输出场在L1范数下接近输入场，有效保留数据主要特征并降低复杂度。

本文系统介绍了持久同调、Reeb图和Morse-Smale复形三种重要的拓扑抽象工具，涵盖其计算算法与在科学可视化和数据分析中的广泛应用。文章详细阐述了各类方法的理论基础与实现流程，并提出一种高效的标量场拓扑简化算法，可显著加速后续拓扑结构的计算。通过地形数据处理和计算流体动力学等案例，展示了这些工具在实际应用中的强大能力。最后总结了当前进展并展望了未来研究方向。

本文深入探讨了拓扑数据分析中的核心工具：持久同调、Reeb图和Morse-Smale复形。持久同调通过过滤和同态机制在多尺度上识别噪声与信号，其可视化表示如持久图和持久曲线具有稳定性与层次结构特性。Reeb图弥补了邻接关系缺失的问题，通过等值线连通分量的收缩形成一维结构，并衍生出Join树与Split树用于分析临界点对。Morse-Smale复形基于积分线与横截相交的流形构建，提供完整的临界点邻接信息，实现对数据拓扑结构的全面描述。这些工具在科学可视化、数据挖掘和机器学习中具有广泛应用，有助于从复杂数据中提

本文介绍了拓扑数据分析的基础概念与方法，从数据的拓扑表示出发，详细阐述了分段线性流形、拓扑不变量、分段线性标量场及其梯度等核心概念。文章重点讲解了临界点的定义、分类及其在不同应用领域中的实际意义，如计算流体动力学、化学和宇宙学。进一步介绍了拓扑抽象的构建流程，包括莫尔斯复形和持久性分析，并总结了拓扑数据分析的优势与挑战。通过典型工作流程和可视化图表，帮助读者系统理解如何利用拓扑方法提取数据的全局结构特征。

本文探讨了拓扑数据分析在科学可视化中的应用与挑战，结合仙女座星系矮星系共面旋转的发现案例，强调了可视化在科学假设生成中的关键作用。文章系统介绍了数据的拓扑表示基础，包括拓扑空间、流形、单纯复形和三角剖分等概念，并深入讨论了拓扑抽象方法如高效拓扑简化与Reeb图计算。同时，涵盖了交互式编辑技术及其在湍流燃烧和分子相互作用分析中的实际应用，最后展望了面对多变量与不确定数据等新兴挑战的发展方向。