5、标量场的高效拓扑简化

标量场的高效拓扑简化

在科学研究和工程应用中，标量场的拓扑简化是一个重要的问题。它可以帮助我们更清晰地理解数据的本质特征，减少数据的复杂度，从而提高后续分析和处理的效率。本文将介绍一种高效的标量场拓扑简化方法，包括其理论基础和具体算法。

基础概念

• 一般拓扑简化定义 ：给定一个 PL 标量场 $f: M \to R$ 及其临界点集合 $C_f$，其一般简化是指一个 PL 标量场 $g: M \to R$，使得 $g$ 的临界点构成 $C_f$ 的一个子集，即 $C_g \subseteq C_f$（具有相同的指标和位置）。通常还希望 $| f - g |_1$ 最小化，以实现数据拟合。
• 闭曲面情况 ：根据 Morse - Euler 关系，$\chi(M) = \sum_{i \in {0,1,2}} (-1)^i |C^i_f| = #\min(f) - #\text{saddles}(f) + #\max(f)$。这表明移除一个极值点必然意味着移除一个鞍点（反之亦然），以保持 $\chi(M)$ 不变。并且，存在 $2g(M)$ 个不可移除的鞍点，它们位于曲面的 $g(M)$ 个手柄上。
• 有边界曲面情况 ：对于每个边界分量 $B \subseteq \partial M$，存在一些不可移除的鞍点。边界 $B$ 是一个闭的 PL 1 - 流形，$\chi(B) = \sum_{i \in {0,1}} (-1)^i |C^i_{f_B}| = #\min(f_B) - #\max(f_B) = 0$，这意味着 $B$ 有偶数个