36、傅里叶变换及其他变换相关知识

傅里叶变换及其他变换相关知识

1. 傅里叶变换

1.1 定义与基本性质

可积复值函数 (f(x)) 的傅里叶变换定义为：
(\hat{f}(\xi) = \int_{R^n} f(x)e^{-i\xi\cdot x} dx^n)
其中体积元素 (dx^n = dx_1 \cdots dx_n)，(\xi = \hat{e}_1\xi_1 + \cdots + \hat{e}_n\xi_n)。

傅里叶变换满足不等式：
(\vert\hat{f}(\xi)\vert \leq \int_{R^n} \vert f(x)\vert dx^n)
并且它有逆变换：
(f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{R^n} \hat{f}(\xi)e^{i\xi\cdot x} d\xi^n)
导数的傅里叶变换为：
(\widehat{\partial_i f}(\xi) = i(\xi \cdot \hat{e} i)\hat{f}(\xi), i = 1, 2, \cdots, n)
Parseval 公式为：
(\int {R^n} f(x)g^ (x) dx^n = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{R^n} \hat{f}(\xi)\hat{g}^ (\xi) d\xi^n)
卷积变换为乘积：
(\widehat{f * g}(\xi) = \int_{R^n} \int_{R^n} f(x - y)g(y) dy^n e^{-i\xi\cdot x} dx^n = \hat{f}(\xi)\