17、傅里叶变换相关知识及应用

傅里叶变换相关知识及应用

1. 离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系

离散傅里叶变换（D.F.T.）及其逆变换与傅里叶变换和逆傅里叶变换密切相关，以下是它们的对比：
| 变换类型 | 傅里叶变换 | 离散傅里叶变换（D.F.T.） |
| ---- | ---- | ---- |
| 正变换 | ( \hat{d}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} d(t) \exp(-i\omega t) dt ) | ( C_j = \sum_{k = 1}^{N} d_k \exp(-i\omega_j t_k) ) |
| 逆变换 | ( d(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{d}(\omega) \exp(i\omega t) d\omega ) | ( d_k = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} C_n \exp(i\omega_n t_k) ) |

如果假设 ( d(t) ) 仅在 ( 0 ) 到 ( t_{max} ) 之间非零，那么傅里叶变换积分可以用黎曼和近似：
( \hat{d}(\omega_j) = \int_{0}^{t_{max}} d(t) \exp(-i\omega_j t) dt \approx \Delta t \sum_{k = 1}^{N} d(t_k) \exp(-i\omega_j t_k) )
由此可推出 ( \hat{d}(\omega_j) \approx \Delta t C_j )，即傅里叶变换和 D.F.T. 系数仅相差常数 ( \Delta t )。逆变换和傅里叶求和之间也有