电路分析与傅里叶级数应用解析

1、在以下电路中，负载 (Z_C) 由电阻 (R)、电感 (L) 和电容 (C) 并联组成，过电压系数为 (Q_0)。发电机提供矩形脉冲，使得 (i_C(t)) 也是矩形，占空比为 (a)，频率为 (\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}})，最大值为 (I_{Cm})。使用 (i_C(t)) 的实项傅里叶级数分解，写出 (v_{CE}(t))。在什么条件下可以获得基频的最大振幅？以及基频的最大效率是多少？

$$
v_{CE}(t)
$$ 的表达式为
$$
v_{CE}(t) = E - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2aI_{Cm}}{\pi n} Z(nf) \cos(2\pi nft + \phi_n)
$$
其中
$$
\phi_n = - \text{Arctg}\left( \frac{1}{nQ_0}(n^2 - 1) \right)
$$
$$
Z(nf) = R \sqrt{1 + \frac{1}{n^2Q_0^2}(n^2 - 1)^2}
$$

当占空比 $ a $ 趋于 0 时，基频振幅可接近最大值，此时效率
$$
\gamma = \frac{E \sin(a\pi)}{2aRI_{Cm}}
$$
趋于 1（即 100%），但由于谐波会在电阻中消耗一些功率，实际并非完全如此。

2、当eg(t) = (VGSoff/2) cos(2πf1t) + V2 cos(2πf2t) 且 V2 << VGSoff/2 时，计算 ID(t)。展开后，指出各项的频率。数值应用：f1 = 100 MHz；f2 = 89.3 MHz（调频广播频段）。计算转换斜率 ΔI_D / ΔV2，其中 ΔID 是频率为 f1 - f2 的项的变化量。

ID(t) = ( ( (VGS + eg) / VGSoff )² - 1 ) * IDSS；各项频率有 2f1、2f2、4f1、4f2、f1 + f2、f1 -